Calculer avec des expressions fractionnaires
Exercice 13
Ecrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible les expressions suivantes et donner les valeurs interdites.
Niveau 1
3 2 A = + 7-x x+1
4x+1
2x
B = x+2 C = 4+ D = + 3x+1 3 x+1 2x + 1 2x-4 +5
Niveau 2
3 x+8 E = 5
F = 3 x + 1
2 x² + 1 3 2 G=5- 4x+1 x-4 H =
Niveau 3
3x x+1 1=
J=x2+4x+2
K = x(x + 1) x² + 2 -3
2 3 + x-4 x

Pour résoudre ces expressions fractionnaires, nous devons d'abord écrire chaque expression sous forme de fraction simplifiée et ensuite déterminer les **valeurs interdites**, qui sont les valeurs de \( x \) qui rendent les dénominateurs égaux à zéro. Voici le traitement détaillé de chaque expression par niveau.

### **Niveau 1 :**

1. **Expression A** : 
   \[
   A = \frac{3}{7 - x} + \frac{2}{x + 1}
   \]
   Le dénominateur commun entre \( 7 - x \) et \( x + 1 \) est \( (7 - x)(x + 1) \).
   \[
   A = \frac{3(x + 1) + 2(7 - x)}{(7 - x)(x + 1)}
   \]
   Simplifions le numérateur :
   \[
   A = \frac{3(x + 1) + 2(7 - x)}{(7 - x)(x + 1)} = \frac{3x + 3 + 14 - 2x}{(7 - x)(x + 1)} = \frac{x + 17}{(7 - x)(x + 1)}
   \]
   **Valeurs interdites** : \( 7 - x = 0 \) donc \( x = 7 \), et \( x + 1 = 0 \) donc \( x = -1 \).
   \[
   \text{Valeurs interdites : } x = 7 \text{ et } x = -1.
   \]

2. **Expression B** :
   \[
   B = \frac{4x + 1}{2x}
   \]
   Ici, il n'y a rien à simplifier.
   **Valeurs interdites** : \( 2x = 0 \) donc \( x = 0 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = 0.
   \]

3. **Expression C** :
   \[
   C = \frac{4}{3x + 1}
   \]
   Aucune simplification n'est nécessaire.
   **Valeurs interdites** : \( 3x + 1 = 0 \), donc \( x = -\frac{1}{3} \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = -\frac{1}{3}.
   \]

4. **Expression D** :
   \[
   D = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{2x - 4} + 5
   \]
   Simplifions le dénominateur \( 2x - 4 = 2(x - 2) \). Le dénominateur commun est \( (x + 1)(x - 2) \).
   \[
   D = \frac{2(x - 2) + 1(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} + 5 = \frac{2x - 4 + x + 1}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{3x - 3}{(x + 1)(x - 2)}
   \]
   **Valeurs interdites** : \( x + 1 = 0 \) donc \( x = -1 \), et \( x - 2 = 0 \) donc \( x = 2 \).
   \[
   \text{Valeurs interdites : } x = -1 \text{ et } x = 2.
   \]

---

### **Niveau 2 :**

1. **Expression E** :
   \[
   E = \frac{3}{x + 8} + 5
   \]
   Simplifions :
   \[
   E = \frac{3}{x + 8} + \frac{5(x + 8)}{x + 8} = \frac{3 + 5(x + 8)}{x + 8} = \frac{5x + 43}{x + 8}
   \]
   **Valeurs interdites** : \( x + 8 = 0 \), donc \( x = -8 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = -8.
   \]

2. **Expression F** :
   \[
   F = \frac{3}{x + 1}
   \]
   Aucun travail supplémentaire nécessaire ici.
   **Valeurs interdites** : \( x + 1 = 0 \), donc \( x = -1 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = -1.
   \]

3. **Expression G** :
   \[
   G = 5 - \frac{3}{4x + 1}
   \]
   Simplification :
   \[
   G = \frac{5(4x + 1) - 3}{4x + 1} = \frac{20x + 5 - 3}{4x + 1} = \frac{20x + 2}{4x + 1}
   \]
   **Valeurs interdites** : \( 4x + 1 = 0 \), donc \( x = -\frac{1}{4} \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = -\frac{1}{4}.
   \]

4. **Expression H** :
   \[
   H = \frac{2x^2 + 1}{x - 4}
   \]
   Aucune simplification n'est nécessaire.
   **Valeurs interdites** : \( x - 4 = 0 \), donc \( x = 4 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = 4.
   \]

---

### **Niveau 3 :**

1. **Expression I** :
   \[
   I = \frac{3x}{x + 1}
   \]
   Aucun travail supplémentaire.
   **Valeurs interdites** : \( x + 1 = 0 \), donc \( x = -1 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = -1.
   \]

2. **Expression J** :
   \[
   J = \frac{x^2 + 4x + 2}{x}
   \]
   Aucune simplification n'est nécessaire.
   **Valeurs interdites** : \( x = 0 \).
   \[
   \text{Valeur interdite : } x = 0.
   \]

3. **Expression K** :
   \[
   K = \frac{x(x + 1)}{x^2 + 2} - 3
   \]
   Simplifions en utilisant un dénominateur commun \( x^2 + 2 \) :
   \[
   K = \frac{x(x + 1) - 3(x^2 + 2)}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + x - 3x^2 - 6}{x^2 + 2} = \frac{-2x^2 + x - 6}{x^2 + 2}
   \]
   **Valeurs interdites** : Aucun dénominateur nul ici, donc **aucune valeur interdite**.

---

Voulez-vous que je détaille davantage une de ces étapes ?  
Voici cinq questions pour vous entraîner davantage :

1. Comment identifier les valeurs interdites dans une expression fractionnaire ?
2. Que se passe-t-il si une des valeurs interdites est utilisée dans le calcul ?
3. Quelle est l'utilité de simplifier les expressions avant de calculer les valeurs interdites ?
4. Pouvez-vous factoriser \( x^2 + 4x + 2 \) dans l'expression J ?
5. Pourquoi les dénominateurs communs sont-ils importants dans les fractions ?

**Astuce** : Toujours vérifier s’il est possible de simplifier avant de calculer les valeurs interdites.

Calculer avec des expressions fractionnaires Exercice 13 Ecrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible les expressions suivantes et donner les valeurs interdites. Niveau 1 3 2 A = + 7-x x+1 4x+1 2x B = x+2 C = 4+ D = + 3x+1 3 x+1 2x + 1 2x-4 +5 Niveau 2 3 x+8 E = 5 F = 3 x + 1 2 x² + 1 3 2 G=5- 4x+1 x-4 H = Niveau 3 3x x+1 1= J=x2+4x+2 K = x(x + 1) x² + 2 -3 2 3 + x-4 x

Learn how to simplify fractional expressions and find domain restrictions with Exercice 13. This exercise covers key algebraic concepts such as fraction addition, simplification, and identifying values that make the denominator zero. Suitable for students in Grades 9-11.

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