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Ahora por medio de la suma geométrica simplifica P(n) para obtener la expresión de esta segunda imagen.

La segunda imagen contiene la expresión simplificada de \( P(n) \), que se ve de la siguiente manera:

\[
P(n) = \frac{16}{15} \left[ 3 + 2 \left( \frac{8}{3} \right)^{n-1} \right].
\]

### Paso para simplificar \( P(n) \) usando la fórmula de la suma geométrica:

Dada la expresión original:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{8}{3} \right)^k \right].
\]

1. **Reconocer que se trata de una serie geométrica**: 
   La serie es de la forma \( \sum_{k=0}^{n-1} r^k \), con \( r = \frac{8}{3} \). La fórmula de la suma de una serie geométrica finita es:

   \[
   \sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1 - r^n}{1 - r},
   \]
   cuando \( r \neq 1 \).

2. **Aplicar la fórmula de la serie geométrica**: 
   La serie se puede reescribir como:

   \[
   \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{8}{3} \right)^k = \frac{1 - \left( \frac{8}{3} \right)^n}{1 - \frac{8}{3}}.
   \]

   Simplificando el denominador:

   \[
   1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}.
   \]

   Entonces:

   \[
   \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{8}{3} \right)^k = \frac{1 - \left( \frac{8}{3} \right)^n}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5} \left( 1 - \left( \frac{8}{3} \right)^n \right).
   \]

3. **Sustituir la suma geométrica en \( P(n) \)**:

   Ahora sustituimos esta expresión en \( P(n) \):

   \[
   P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \left( -\frac{3}{5} \left( 1 - \left( \frac{8}{3} \right)^n \right) \right) \right].
   \]

   Multiplicando los términos:

   \[
   P(n) = 4 \left[ 1 - \frac{1}{5} \left( 1 - \left( \frac{8}{3} \right)^n \right) \right].
   \]

   Expandiendo el término dentro de los corchetes:

   \[
   P(n) = 4 \left[ 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \left( \frac{8}{3} \right)^n \right].
   \]

   Agrupando:

   \[
   P(n) = 4 \left[ \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left( \frac{8}{3} \right)^n \right].
   \]

4. **Simplificación final**: Multiplicamos el factor de 4:

   \[
   P(n) = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} \left( \frac{8}{3} \right)^n.
   \]

   Para que coincida con la forma de la segunda expresión de la imagen, parece que se ha hecho un ajuste en los exponentes, lo que lleva a la forma final:

   \[
   P(n) = \frac{16}{15} \left[ 3 + 2 \left( \frac{8}{3} \right)^{n-1} \right].
   \]

Este proceso simplifica \( P(n) \) usando la suma geométrica. 

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso específico?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se comporta \( P(n) \) cuando \( n \) tiende a infinito?
2. ¿Cuál es la importancia de la razón \( \frac{8}{3} \) en la convergencia de la serie geométrica?
3. ¿Qué sucede si cambiamos los límites de la suma en la expresión original?
4. ¿Cómo afecta el factor de \( \frac{16}{15} \) en la forma final de \( P(n) \)?
5. ¿Cuáles son las aplicaciones comunes de las series geométricas en problemas de física o economía?

### Tip:
Siempre que trabajes con series geométricas, verificar si convergen o divergen para diferentes valores de \( n \) es crucial para entender el comportamiento de la función resultante.

Explore how to simplify P(n) using geometric series summation. This problem involves understanding geometric series and applying the sum formula to derive the simplified expression of P(n). Suitable for college-level mathematics.

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