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La expresión en la imagen que has proporcionado es la siguiente:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k \right]
\]

### Desglose de la expresión:

1. **\( P(n) \)**: Es la función que depende de \( n \).
2. **\( 4 \)**: Es un factor que multiplica toda la expresión entre corchetes.
3. **\( 1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k \)**: Dentro de los corchetes, hay un término constante \(1\) sumado a una fracción \( \frac{1}{3} \), que multiplica a una suma.

4. **\(\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k\)**: Representa una suma desde \( k = 0 \) hasta \( k = n-1 \) de la expresión \( \left(\frac{8}{3}\right)^k \).

Este tipo de suma se conoce como una **suma de una serie geométrica**. La serie geométrica tiene la forma general:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

donde \( r \) es la razón común (en este caso \( r = \frac{8}{3} \)) y \( n \) es el número de términos.

### Simplificación de la serie geométrica:

Podemos simplificar la suma de la serie geométrica dentro de la expresión:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k = \frac{\left(\frac{8}{3}\right)^n - 1}{\frac{8}{3} - 1}
\]

Sustituyendo esto en la expresión original:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(\frac{8}{3}\right)^n - 1}{\frac{5}{3}} \right]
\]

Simplificando aún más:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{5} \left(\left(\frac{8}{3}\right)^n - 1\right) \right]
\]

Finalmente, podemos expandir y simplificar la expresión si es necesario.

¿Te gustaría que realizara una simplificación adicional o un análisis más profundo de esta función? 

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la fórmula para \( P(n) \) cuando \( n = 2 \)?
2. ¿Cuál es el comportamiento asintótico de \( P(n) \) cuando \( n \) tiende a infinito?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( n \) a la serie geométrica dentro de la fórmula?
4. ¿Podrías calcular el valor exacto de \( P(n) \) para un valor dado de \( n \)?
5. ¿Qué sucede con \( P(n) \) si el valor de \( r = \frac{8}{3} \) fuera diferente?

### Tip:
Cuando trabajes con series geométricas, es útil recordar la fórmula de suma para simplificar cálculos y encontrar patrones en las funciones.

Explore the expression P(n) involving a geometric series and its simplification. This problem delves into mathematical concepts such as series, geometric series, and summation. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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