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Quiero que desarrolles paso a paso la simplificación de P(n) mediante la suma geométrica de la siguiente expresión:

Para simplificar la expresión de \( P(n) \) utilizando la suma geométrica, procederemos paso a paso.

La expresión dada es:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k \right].
\]

Vamos a simplificar la suma geométrica dentro de la expresión.

### Paso 1: Reconocer la suma geométrica

La suma dentro del corchete es una suma geométrica de la forma:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} r^k
\]

donde \( r = \frac{8}{3} \).

### Paso 2: Aplicar la fórmula de la suma geométrica

Para una suma geométrica de la forma \( \sum_{k=0}^{n-1} r^k \), la fórmula de la suma es:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{(si \(r \neq 1\))}
\]

Sustituyendo \( r = \frac{8}{3} \):

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{8}{3}\right)^n}{1 - \frac{8}{3}}.
\]

### Paso 3: Simplificar la expresión de la suma geométrica

Simplificamos el denominador:

\[
1 - \frac{8}{3} = \frac{3 - 8}{3} = -\frac{5}{3}.
\]

Por lo tanto, la suma geométrica es:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{8}{3}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{8}{3}\right)^n}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5} \left(1 - \left(\frac{8}{3}\right)^n\right).
\]

### Paso 4: Sustitución en la expresión original de \(P(n)\)

Sustituimos esta expresión en \(P(n)\):

\[
P(n) = 4 \left[ 1 + \frac{1}{3} \left( -\frac{3}{5} \left(1 - \left(\frac{8}{3}\right)^n\right) \right) \right].
\]

Simplificando dentro del corchete:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 - \frac{1}{5} \left(1 - \left(\frac{8}{3}\right)^n\right) \right].
\]

### Paso 5: Simplificar completamente la expresión

Distribuimos el \(\frac{1}{5}\) dentro del paréntesis:

\[
P(n) = 4 \left[ 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\left(\frac{8}{3}\right)^n \right].
\]

Simplificamos los términos constantes:

\[
1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.
\]

Entonces,

\[
P(n) = 4 \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left(\frac{8}{3}\right)^n \right).
\]

Multiplicando todo por 4:

\[
P(n) = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} \left(\frac{8}{3}\right)^n.
\]

Esta es la expresión simplificada de \(P(n)\) utilizando la suma geométrica.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es una progresión geométrica y cómo se define?
2. ¿Cuáles son las propiedades clave de una serie geométrica?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula para la suma de una serie geométrica finita?
4. ¿Qué sucede con la serie geométrica cuando \( r > 1 \) o \( r < 1 \)?
5. ¿Cómo se puede aplicar la suma geométrica en problemas del mundo real?

### Tip:

Siempre verifica las restricciones de convergencia cuando trabajes con series geométricas, especialmente si estás tratando con series infinitas.

Learn how to simplify the expression P(n) using geometric series summation step-by-step. This problem involves the sum of a geometric series, specifically applied to the function P(n). Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

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