问题1 供应商声称一批零配件（零配件1或零配件2）的次品率不会超过某个标称值。企业准备采用抽样检测方法决定是否接收从供应商购买的这批零配件，检测费用由企业自行承担。请为企业设计检测次数尽可能少的抽样检测方案。
如果标称值为10%，根据你们的抽样检测方案，针对以下两种情形，分别给出具体结果：
(1）在95％的信度下认定零配件次品率超过标称值，则拒收这批零配件；
(2）在90％的信度下认定零配件次品率不超过标称值，则接收这批零配件。具体数学模型并求解 要求建模公式利用到标准正态分布

为了设计这个抽样检测方案，我们将采用基于**标准正态分布**的假设检验方法。此方案可以帮助企业在两种情况下分别做出接收或拒收决策。首先，我们假设样本中的次品率服从二项分布，但由于大样本近似，二项分布可以通过正态分布来近似处理。

### 1. 问题描述
我们设：
- \( p_0 = 10\% = 0.10 \) 为标称次品率；
- \( n \) 为抽样的样本量；
- \( \hat{p} \) 为样本中的次品率，即 \( \hat{p} = \frac{k}{n} \)，其中 \( k \) 是次品的个数；
- \( \alpha \) 为第一类错误（即将次品率低于标称值判定为超过标称值）的犯错概率；
- \( \beta \) 为第二类错误（即将次品率超过标称值判定为不超过标称值）的犯错概率。

在这个问题中：
1. **第一种情形**：在95%的信度下（即 \( \alpha = 5\% \)），我们要拒收次品率超过标称值的零配件。
2. **第二种情形**：在90%的信度下（即 \( \beta = 10\% \)），我们要接收次品率不超过标称值的零配件。

### 2. 模型建立
我们可以将这个问题建模为一个假设检验问题：

- **零假设 \( H_0 \)**：次品率 \( p \leq p_0 \)，即不超过标称次品率；
- **备择假设 \( H_1 \)**：次品率 \( p > p_0 \)，即超过标称次品率。

由于二项分布可以近似为正态分布，假设检验统计量 \( Z \) 为：

\[
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}}
\]

其中，\( Z \) 服从标准正态分布 \( N(0,1) \)。

### 3. 第一种情形：拒收标准
在95%的信度下（即 \( \alpha = 5\% \)），我们拒收零配件。如果次品率高于标称值，则我们需要拒收。因此，对于 \( Z \)，我们使用一个临界值 \( Z_{\alpha} \) 对应于标准正态分布的95%置信水平：

\[
Z_{\alpha} = 1.645
\]

根据公式：

\[
1.645 = \frac{\hat{p} - 0.10}{\sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{n}}}
\]

通过求解 \( n \)，我们可以得到所需的样本量。

### 4. 第二种情形：接收标准
在90%的信度下（即 \( \beta = 10\% \)），我们希望次品率不超过标称值时接收零配件。此时，我们使用对应的标准正态分布的10%分位数的临界值 \( Z_{\beta} \)：

\[
Z_{\beta} = -1.28
\]

同样，使用检验统计量公式：

\[
-1.28 = \frac{\hat{p} - 0.10}{\sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{n}}}
\]

再通过求解 \( n \)，我们可以得到所需的样本量。

### 5. 求解样本量 \( n \)

我们分别求解两种情形下的样本量，确保企业在保证信度的前提下以尽可能少的检测次数做出决策。

#### 第一种情形：95%信度
\[
1.645 = \frac{\hat{p} - 0.10}{\sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{n}}}
\]
整理得：
\[
n = \frac{0.10 \times 0.90 \times (1.645)^2}{(\hat{p} - 0.10)^2}
\]

#### 第二种情形：90%信度
\[
-1.28 = \frac{\hat{p} - 0.10}{\sqrt{\frac{0.10 \times 0.90}{n}}}
\]
整理得：
\[
n = \frac{0.10 \times 0.90 \times (1.28)^2}{(\hat{p} - 0.10)^2}
\]

### 6. 结论

根据计算得到的 \( n \)，我们可以设计相应的抽样检测方案，以保证企业在最低的检测成本下做出合理的决策。

你是否想要详细计算样本量并得到最终结果？

---

扩展问题：
1. 什么是二类错误？它与本问题有什么关系？
2. 如何根据次品率的不同假设设计不同的抽样方案？
3. 标称次品率的变化对抽样方案有什么影响？
4. 当样本量增加时，企业的决策会变得如何更加精准？
5. 如果标称次品率不是10%，如何调整我们的模型？

**提示**：检验统计量 \( Z \) 在大样本下趋近于标准正态分布，因此我们可以利用其置信区间进行假设检验。

问题1 供应商声称一批零配件（零配件1或零配件2）的次品率不会超过某个标称值。企业准备采用抽样检测方法决定是否接收从供应商购买的这批零配件，检测费用由企业自行承担。请为企业设计检测次数尽可能少的抽样检测方案。如果标称值为10%，根据你们的抽样检测方案，针对以下两种情形，分别给出具体结果：(1）在95％的信度下认定零配件次品率超过标称值，则拒收这批零配件；(2）在90％的信度下认定零配件次品率不超过标称值，则接收这批零配件。具体数学模型并求解 要求建模公式利用到标准正态分布。

This problem explores how to design a sampling plan using hypothesis testing based on a normal distribution to determine if the defective rate of a batch of parts exceeds a nominal value of 10%. We apply statistical methods for decision-making at 95% confidence to reject and 90% confidence to accept the batch. Suitable for university-level statistics students.

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