Para calcular la integral definida de \( x^3 \) entre 1 y 5 usando la suma de Riemann, seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Dividir el intervalo
El intervalo de integración es de 1 a 5, por lo que:

\[
[a, b] = [1, 5]
\]

Dividimos este intervalo en \( n \) subintervalos de igual longitud. El ancho de cada subintervalo es:

\[
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{n} = \frac{4}{n}
\]

### Paso 2: Seleccionar los puntos
Para la suma de Riemann, podemos elegir los puntos de la izquierda, derecha, o puntos medios del intervalo. Tomemos como ejemplo la **suma de Riemann derecha**.

Los puntos de evaluación serían:

\[
x_i = a + i\Delta x = 1 + i \cdot \frac{4}{n}, \quad i = 1, 2, 3, \dots, n
\]

### Paso 3: Evaluar la función
La función a integrar es \( f(x) = x^3 \). Evaluamos la función en cada \( x_i \):

\[
f(x_i) = \left(1 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^3
\]

### Paso 4: Sumar las áreas de los rectángulos
La suma de Riemann se calcula como:

\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(1 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^3 \cdot \frac{4}{n}
\]

### Paso 5: Límite cuando \( n \to \infty \)
La integral definida es el límite de la suma de Riemann cuando \( n \to \infty \):

\[
\int_1^5 x^3 \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n
\]

### Cálculo directo de la integral
Sin embargo, podemos calcular directamente la integral definida usando el método tradicional. La integral de \( x^3 \) es:

\[
\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}
\]

Evaluamos esto entre 1 y 5:

\[
\int_1^5 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^5 = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625}{4} - \frac{1}{4} = \frac{624}{4} = 156
\]

Por lo tanto, el valor de la integral es 156.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué tipos de sumas de Riemann existen y cómo difieren entre sí?
2. ¿Cómo afectaría el uso de la suma de Riemann izquierda al cálculo?
3. ¿Qué es la interpretación geométrica de la integral?
4. ¿Cómo podemos calcular sumas de Riemann para funciones más complejas?
5. ¿Cómo se relaciona la integral con el área bajo una curva?

**Tip**: La suma de Riemann es un método poderoso para aproximar integrales cuando no se conoce la antiderivada de la función.

Calculate the definite integral of x^3 from 1 to 5 using the Riemann sum approximation method. Learn step-by-step how to set up the Riemann sum, calculate the limit as n approaches infinity, and solve the integral directly. This guide covers key calculus concepts like Riemann sums and the Fundamental Theorem of Calculus.

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