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Necesito saber como resolver sobretodo los posibles puntos C a traves de la segunda inetgral (b). Ademas, me gustaria que me expliques lo que vas razonando para hallar el valor de la x de la cuadratica, si aplicas bhaskara o algun otro metodo que quizas este errado 

Para resolver este problema, primero necesitamos aplicar el **Teorema del Valor Medio para Integrales**. Este teorema nos dice que para una función continua \( f(x) \) en un intervalo cerrado \([a, b]\), existe un punto \( c \) en \((a, b)\) tal que:

\[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\]

En este caso, se nos proporciona la función \( f(x) \) que es:

\[
f(x) = \begin{cases} 
4x & \text{si } x \leq 4 \\
-x^2 + 8x & \text{si } x > 4 
\end{cases}
\]

También se nos proporcionan dos integrales:

- a) \( \int_{5}^{c} f(x) \, dx = \frac{200}{3} \)
- b) \( \int_{5}^{c} f(x) \, dx = \frac{119}{3} \) 

Nos enfocaremos en la segunda integral, la parte (b).

### Paso 1: Evaluar la integral de la función en el intervalo dado

Dado que \( x = 5 \) está en el segundo tramo de la función \( f(x) = -x^2 + 8x \) (ya que \( 5 > 4 \)), usaremos la función cuadrática en el intervalo.

Primero, encontremos la integral indefinida de \( f(x) = -x^2 + 8x \):

\[
\int (-x^2 + 8x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x^2 + C
\]

### Paso 2: Evaluar la integral definida

Evaluamos la integral desde 5 hasta \( c \):

\[
\int_{5}^{c} (-x^2 + 8x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 4x^2\right]_{5}^{c} 
\]

Esto se convierte en:

\[
-\frac{c^3}{3} + 4c^2 - \left(-\frac{5^3}{3} + 4 \times 5^2\right) = \frac{119}{3}
\]

Calculamos el valor de la expresión en \( x = 5 \):

\[
-\frac{5^3}{3} + 4 \times 5^2 = -\frac{125}{3} + 4 \times 25 = -\frac{125}{3} + 100 = \frac{175}{3}
\]

Sustituyendo este valor en la ecuación tenemos:

\[
-\frac{c^3}{3} + 4c^2 - \frac{175}{3} = \frac{119}{3}
\]

Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar los denominadores:

\[
-c^3 + 12c^2 - 175 = 119
\]

Simplificamos:

\[
-c^3 + 12c^2 - 294 = 0
\]

O, multiplicando por \(-1\):

\[
c^3 - 12c^2 + 294 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cúbica

Esta es una ecuación cúbica que no tiene una solución fácil utilizando la fórmula cuadrática o Bhaskara. Podríamos intentar resolverla utilizando técnicas numéricas (como el método de Newton-Raphson) o con una calculadora avanzada para encontrar las raíces. 

Dado que el problema parece estar diseñado para obtener soluciones más simples, podemos suponer que se espera una solución que pueda ser estimada o evaluada directamente por métodos numéricos o gráficos.

### Resumen
- La solución requiere encontrar los puntos \( c \) donde se satisface la igualdad con la integral proporcionada.
- En el caso de la parte b), la ecuación cúbica debe resolverse numéricamente para obtener el valor de \( c \).

¿Deseas que haga una aproximación numérica de la raíz de esta ecuación cúbica para hallar el valor de \( c \)? También, si tienes alguna pregunta sobre algún paso o quieres más detalles sobre alguna parte específica, no dudes en pedirlo.

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el Teorema del Valor Medio para funciones no continuas?
2. ¿Qué métodos existen para resolver ecuaciones cúbicas?
3. ¿Cómo se resuelve la integral de una función definida a trozos?
4. ¿Qué otras aplicaciones tiene el Teorema del Valor Medio en cálculo?
5. ¿Cómo afecta el cambio de intervalo al valor de \( c \) en el Teorema del Valor Medio?

### Tip:
Es útil revisar la continuidad de una función antes de aplicar el Teorema del Valor Medio, ya que la función debe ser continua en el intervalo cerrado para asegurar que existe un valor \( c \).

Aprende a resolver integrales definidas utilizando el Teorema del Valor Medio para Integrales. Este problema específico aborda cómo encontrar el valor de x en una función cuadrática mediante la aplicación de este teorema matemático. Adecuado para estudiantes universitarios y aficionados a las matemáticas avanzadas.

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