RESOLVER EL SISTEMA CONVEXO                                                                                                                                        6x +5y+8z <= 90
        7x+4y +9z <= 100
           x+y+z > = 10

Para resolver el sistema convexo dado, necesitamos encontrar la intersección de los conjuntos definidos por las desigualdades lineales. El sistema es el siguiente:

\[
\begin{aligned}
1. \quad & 6x + 5y + 8z & \leq & \ 90 \\
2. \quad & 7x + 4y + 9z & \leq & \ 100 \\
3. \quad & x + y + z & \geq & \ 10
\end{aligned}
\]

Este sistema representa una región en el espacio tridimensional (en términos de \(x\), \(y\) y \(z\)) donde los puntos cumplen con todas las desigualdades simultáneamente. A continuación, se detalla cómo resolver este sistema:

### Paso 1: Resolver el sistema como ecuaciones de igualdad

Primero, resolveremos las ecuaciones asociadas a las desigualdades para encontrar los puntos donde las desigualdades se vuelven igualdades:

\[
\begin{aligned}
1. \quad & 6x + 5y + 8z & = & \ 90 \\
2. \quad & 7x + 4y + 9z & = & \ 100 \\
3. \quad & x + y + z & = & \ 10
\end{aligned}
\]

### Paso 2: Determinar los vértices de la región factible

Para encontrar los vértices de la región factible (donde las soluciones posibles se encuentran), necesitamos resolver estas ecuaciones simultáneamente. Sin embargo, este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que se puede resolver utilizando métodos algebraicos (como la eliminación de Gauss) para encontrar los valores específicos de \(x\), \(y\), y \(z\) en los vértices.

### Paso 3: Evaluar las desigualdades

Después de determinar los vértices, debemos verificar cuáles de estos puntos satisfacen todas las desigualdades del sistema original. Esto incluye asegurarse de que cada vértice satisface las desigualdades no estrictas (≤) y la desigualdad estricta (≥).

### Paso 4: Definir la región factible

La región factible será el conjunto de todos los puntos que cumplen con todas las desigualdades. Este conjunto es un poliedro convexo, ya que está definido por un conjunto de desigualdades lineales.

### Paso 5: Visualización (opcional)

Podemos visualizar esta región factible en un espacio tridimensional, lo que ayudaría a entender mejor la forma y la extensión de la región donde se cumplen las desigualdades.

¿Te gustaría que resuelva el sistema algebraicamente o que lo visualice gráficamente?

---

1. ¿Cómo se calculan los vértices de una región convexa?
2. ¿Qué métodos algebraicos pueden usarse para resolver sistemas lineales?
3. ¿Cómo se verifica si un punto está dentro de una región factible?
4. ¿Qué es un poliedro convexo?
5. ¿Cómo se representan gráficamente regiones en 3D?

**Tip:** Al resolver sistemas de desigualdades lineales, es útil comenzar determinando las soluciones de las ecuaciones de igualdad asociadas, ya que estos definen los límites de la región factible.

Learn how to solve the given convex system of linear inequalities: 6x + 5y + 8z <= 90, 7x + 4y + 9z <= 100, x + y + z >= 10. Understand the steps involved in finding the feasible region and verifying the solutions. Suitable for advanced high school or college-level mathematics.

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