max(Z)=6⋅x+10⋅y
x≤8
y≤8
2⋅x+2⋅y≤20
1⋅x+3⋅y≤15
x,y≥0

Nun wird die Nebenbedingung 1⋅x+3⋅y≤15 durch eine andere ersetzt: Neu gilt 1⋅x+3⋅y≥15

Was ist der optimale Zielfunktionwert? Runden Sie auf ganze Zahlen (keine Nachkommastellen).

Um das Optimierungsproblem zu lösen, müssen wir die gegebenen Ungleichungen und die Zielfunktion analysieren. Ursprünglich hatten wir die folgenden Bedingungen:

- \( x \leq 8 \)
- \( y \leq 8 \)
- \( 2x + 2y \leq 20 \)
- \( x + 3y \leq 15 \)
- \( x, y \geq 0 \)

Die Zielfunktion lautet:
\[ Z = 6x + 10y \]

Diese Bedingungen definieren den zulässigen Bereich für \( x \) und \( y \). Nun wird die Nebenbedingung \( x + 3y \leq 15 \) durch \( x + 3y \geq 15 \) ersetzt. Dies bedeutet, dass der zulässige Bereich nun durch die Ungleichung \( x + 3y = 15 \) auf der Linie oder oberhalb dieser Linie begrenzt wird.

**Schritt 1: Bestimmung der neuen Schnittpunkte**

Da \( x + 3y = 15 \) nun ein Gleichheitszeichen enthält und wir auf dieser Linie oder darüber optimieren müssen, werden wir die Schnittpunkte der Linie mit den anderen Restriktionen betrachten.

1. Setzen wir \( x = 0 \) in \( x + 3y = 15 \) ein, erhalten wir:
   \[
   3y = 15 \quad \Rightarrow \quad y = 5
   \]
   Also ist der Punkt \( (0, 5) \) auf dieser Linie.
   
2. Setzen wir \( y = 0 \) in \( x + 3y = 15 \) ein, erhalten wir:
   \[
   x = 15
   \]
   Aber \( x \leq 8 \), daher ist der Punkt \( (8, 7/3) \) der höchste auf dieser Linie liegende Punkt, der die anderen Bedingungen respektiert.

**Schritt 2: Berechnung des optimalen Punktes**

Nun prüfen wir die Punkte entlang dieser Linie und den erlaubten Bereich. Die zulässigen Punkte liegen also entlang der Linie \( x + 3y = 15 \), mit den zusätzlichen Bedingungen \( x \leq 8 \) und \( y \leq 8 \), unter Berücksichtigung der Bedingung \( 2x + 2y \leq 20 \).

- Bei \( x = 0 \), \( y = 5 \): 
  \[
  Z = 6(0) + 10(5) = 50
  \]
- Bei \( x = 8 \), \( y = 7/3 \): 
  \[
  Z = 6(8) + 10(7/3) = 48 + 70/3 = 48 + 23.33 = 71.33
  \]

Der höchste Zielfunktionswert liegt bei \( Z = 71.33 \), aber gerundet auf die nächste ganze Zahl ergibt \( Z = 71 \).

**Antwort:** Der optimale Zielfunktionswert ist 71 (auf ganze Zahlen gerundet).

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen dazu?

Hier sind fünf weitere Fragen zum Nachdenken:

1. Wie verändert sich der zulässige Bereich bei der Änderung der Ungleichung?
2. Warum ist die Wahl von Punkten entlang der Linie wichtig für das Optimierungsproblem?
3. Wie beeinflussen die Randbedingungen das Ergebnis der Zielfunktion?
4. Welche weiteren Methoden gibt es zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?
5. Wie würde sich der Zielfunktionswert ändern, wenn die Koeffizienten der Zielfunktion modifiziert werden?

**Tipp:** Das Lösen von linearen Optimierungsproblemen wird einfacher, wenn man die Graphik der Randbedingungen visualisiert.

Learn how to optimize a linear objective function subject to inequalities. This problem involves solving constraints such as x ≤ 8, y ≤ 8, 2x + 2y ≤ 20, and the modified constraint 1x + 3y ≥ 15. Discover the optimal solution rounded to the nearest whole number.

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