ejercicios resueltos ecuaciones diferenciales no homogéneas con metodo de Wronskiano

Vamos a resolver otro ejercicio de ecuación diferencial no homogénea usando el método del Wronskiano.

**Ejemplo 2:**

Resolver la ecuación diferencial no homogénea:
\[ y'' - 3y' + 2y = e^{3x} \]

**Paso 1: Resolver la ecuación homogénea asociada.**

La ecuación homogénea es:
\[ y'' - 3y' + 2y = 0 \]

La ecuación característica es:
\[ r^2 - 3r + 2 = 0 \]
\[ (r - 1)(r - 2) = 0 \]
\[ r = 1, \quad r = 2 \]

Las soluciones de la ecuación homogénea son:
\[ y_h = c_1 e^x + c_2 e^{2x} \]

**Paso 2: Encontrar una solución particular usando el método del Wronskiano.**

Primero, necesitamos dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Podemos usar \( y_1 = e^x \) y \( y_2 = e^{2x} \).

El Wronskiano de \( y_1 \) y \( y_2 \) es:
\[ W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix}
e^x & e^{2x} \\
e^x & 2e^{2x}
\end{vmatrix} = e^x \cdot 2e^{2x} - e^{2x} \cdot e^x = 2e^{3x} - e^{3x} = e^{3x} \]

Ahora, usamos las siguientes fórmulas para encontrar \( u_1 \) y \( u_2 \):
\[ u_1(x) = -\int \frac{y_2(x) g(x)}{W(y_1, y_2)} \, dx = -\int \frac{e^{2x} e^{3x}}{e^{3x}} \, dx = -\int e^{2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{2x} \]

\[ u_2(x) = \int \frac{y_1(x) g(x)}{W(y_1, y_2)} \, dx = \int \frac{e^x e^{3x}}{e^{3x}} \, dx = \int e^x \, dx = e^x \]

La solución particular es:
\[ y_p = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) \]
\[ y_p = -\frac{1}{2} e^{2x} e^x + e^x e^{2x} \]
\[ y_p = -\frac{1}{2} e^{3x} + e^{3x} \]
\[ y_p = \frac{1}{2} e^{3x} \]

**Paso 3: Escribir la solución general.**

La solución general de la ecuación diferencial no homogénea es:
\[ y(x) = y_h + y_p \]
\[ y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + \frac{1}{2} e^{3x} \]

**¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta?**

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas para ampliar tu comprensión:

1. ¿Cómo se forma la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de segundo orden?
2. ¿Qué propiedades deben tener las soluciones para ser consideradas linealmente independientes?
3. ¿Qué importancia tiene el Wronskiano en la teoría de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Cómo afecta el término no homogéneo en la elección de las funciones para el método del Wronskiano?
5. ¿Por qué es importante encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea?
6. ¿Cómo se interpreta la solución general de una ecuación diferencial no homogénea?
7. ¿Qué otros métodos existen para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales no homogéneas?
8. ¿Qué sucede si el Wronskiano de dos funciones es cero en algún punto?

**Consejo:** El método del Wronskiano es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. Asegúrate de comprender cómo se deriva y utiliza en diferentes contextos para manejar diversos tipos de ecuaciones eficientemente.

Aprende a resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas usando el método del Wronskiano con un ejemplo detallado. Este problema cubre conceptos clave de ecuaciones diferenciales y el uso del Wronskiano para encontrar soluciones particulares. Adecuado para estudiantes universitarios.

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