Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables dy/dx = y^3/ x^2

Para resolver la ecuación diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^2}\) por separación de variables, seguimos los siguientes pasos:

1. **Reescribir la ecuación**:
   Queremos separar las variables \(y\) y \(x\). Para hacerlo, multiplicamos ambos lados por \(dx\) y dividimos por \(y^3\):
   \[
   \frac{1}{y^3} \, dy = \frac{1}{x^2} \, dx
   \]

2. **Integrar ambos lados**:
   Ahora, integramos ambos lados de la ecuación.

   - La integral de \(\frac{1}{y^3}\) con respecto a \(y\):
     \[
     \int \frac{1}{y^3} \, dy = \int y^{-3} \, dy = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2y^2}
     \]

   - La integral de \(\frac{1}{x^2}\) con respecto a \(x\):
     \[
     \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
     \]

3. **Incorporar la constante de integración**:
   Al integrar, agregamos una constante de integración \(C\) al lado derecho. Entonces, la ecuación se vuelve:
   \[
   -\frac{1}{2y^2} = -\frac{1}{x} + C
   \]

4. **Simplificar la ecuación**:
   Multiplicamos ambos lados por \(-1\) para eliminar los signos negativos:
   \[
   \frac{1}{2y^2} = \frac{1}{x} - C
   \]

5. **Despejar \(y(x)\)**:
   Para despejar \(y\), multiplicamos ambos lados por \(2\) y luego invertimos la expresión:
   \[
   \frac{1}{y^2} = 2\left(\frac{1}{x} - C\right)
   \]
   \[
   y^2 = \frac{1}{2\left(\frac{1}{x} - C\right)}
   \]
   Finalmente, obtenemos \(y(x)\) tomando la raíz cuadrada:
   \[
   y(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2\left(\frac{1}{x} - C\right)}}
   \]

Este es el resultado general de la solución de la ecuación diferencial.

¿Te gustaría ver más detalles de alguno de los pasos? 

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica la separación de variables en ecuaciones diferenciales de primer orden?
2. ¿Qué sucede si la constante de integración \(C\) es igual a cero en este caso?
3. ¿Cómo se interpreta la solución general de una ecuación diferencial en términos físicos?
4. ¿Cómo determinar una solución particular para una ecuación diferencial dado un valor inicial?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver ecuaciones diferenciales no separables?

**Tip**: Siempre recuerda verificar las condiciones iniciales (si las hay) para determinar la constante de integración en ecuaciones diferenciales.

Aprende a resolver la ecuación diferencial dy/dx = y^3/x^2 usando el método de separación de variables. Esta solución incluye una explicación paso a paso de la reescritura, integración, y simplificación de la ecuación diferencial. Ideal para estudiantes de secundaria en los grados 10-12.

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