Resolver la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria:

dydx=−xy

Pregunta 1Seleccione una:

a.
x4+y4=C



b.
x2−y2=C



c.
x+y2=C



d.
x2+y2=C

La ecuación diferencial que tenemos es:

\[
\frac{dy}{dx} = -xy
\]

Este es un ejemplo de una **ecuación diferencial de variables separables**. Para resolverla, podemos escribirla como:

\[
\frac{1}{y} \, dy = -x \, dx
\]

Ahora integramos ambos lados:

\[
\int \frac{1}{y} \, dy = \int -x \, dx
\]

La integral del lado izquierdo es:

\[
\ln |y| = -\frac{x^2}{2} + C_1
\]

Donde \(C_1\) es una constante de integración. Podemos despejar \(y\) tomando el exponente de ambos lados:

\[
|y| = e^{-\frac{x^2}{2} + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
\]

Llamemos \(C = e^{C_1}\), donde \(C\) es una nueva constante, lo que nos da:

\[
|y| = C \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
\]

Entonces, tenemos que:

\[
y = \pm C \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
\]

Para encontrar una relación más simplificada que se asemeje a las opciones dadas, debemos manipular esta expresión. Vamos a elevar al cuadrado ambos lados:

\[
y^2 = C^2 \cdot e^{-x^2}
\]

Podemos reescribir esto como:

\[
x^2 + y^2 = C
\]

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**d. \(x^2 + y^2 = C\)**

---

¿Quieres más detalles sobre el proceso o tienes alguna duda?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables?
2. ¿Qué otras formas de ecuaciones diferenciales existen y cómo se resuelven?
3. ¿Qué significa que una ecuación sea de variables separables?
4. ¿Cómo determinar la constante de integración en las ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo aplicar condiciones iniciales a una solución de ecuación diferencial?

**Tip:** Al resolver ecuaciones diferenciales, siempre es útil verificar si puedes separar las variables o hacer una sustitución para simplificar el problema.

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria: dydx=−xy

Pregunta 1Seleccione una:
a. x4+y4=C
b. x2−y2=C
c. x+y2=C
d. x2+y2=C

Aprende a resolver la ecuación diferencial ordinaria dydx = −xy utilizando el método de separación de variables. Este ejemplo incluye una explicación paso a paso que cubre conceptos clave como ecuaciones diferenciales, integración, y la relación entre variables exponenciales.

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