1. Sea F el subespacio vectorial F = < (1,-1,0), (0,6,2), (1,5,2), (3,3,2) >. Se pide:
a) Una base y las ecuaciones paramétricas de F.
b) Un subespacio G suplementario del subespacio F.
c) Seax
→
= (3, −1, −3) . Indicar six
→
F ó x
→
G ó x
→
F +G . Descomponer el vectorx
→ en
suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al vectoru
→
= (1,−1,0) F .
d) Una base B1 del espacio vectorial F+G.
e) Una superficie en R3 tiene de ecuación 3x2+2xy-2xz+3y2+2yz+3z2=1. Determinar la
ecuación (lo más simplificada posible) de esta superficie, respecto de la nueva base:2
1 1 1 1 1 1
B u ( , 0, ), v ( , , 0), w (0, , )
2 2 2 2 2 2
 
= = = − = − 
 
.
f) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B1 y B2.
g) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3.
2. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de3
 son subespacios vectoriales.
Para ellos, buscar una base:
a)( )
 
0zyx/z,y,xF 3 =++= .
b)( )
 
1x2z/z,y,xG 3 +== ;
c)( )
 
xyz,0zy2x/z,y,xH 3 −==++= ;
d)( )
 
0z,y,x/z,y,xI 3 = ;f) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B1 y B2.
g) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3.
2. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de3
 son subespacios vectoriales.
Para ellos, buscar una base:

Vamos a resolver los problemas planteados paso a paso:

### Problema 1

#### a) Base y ecuaciones paramétricas de F

Dado el conjunto de vectores \( F = \{(1,-1,0), (0,6,2), (1,5,2), (3,3,2)\} \), para encontrar una base del subespacio vectorial \( F \), necesitamos encontrar un conjunto de vectores linealmente independientes que generen el espacio. Utilizamos el método de Gauss-Jordan para encontrar la forma escalonada reducida de la matriz de estos vectores.

La matriz formada por estos vectores es:
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 6 & 2 \\
1 & 5 & 2 \\
3 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\]

Al aplicar el método de Gauss-Jordan, obtenemos la forma escalonada reducida. Los vectores de la base serán aquellos que correspondan a las columnas con pivotes.

#### b) Subespacio G suplementario del subespacio F

Un subespacio \( G \) es suplementario a \( F \) si su suma directa con \( F \) da como resultado todo el espacio vectorial en el cual están contenidos (en este caso, \( \mathbb{R}^3 \)). Para encontrar un subespacio suplementario, podemos buscar un conjunto de vectores que complemente la base de \( F \) para formar una base completa de \( \mathbb{R}^3 \).

#### c) Descomposición del vector \( \vec{x} = (3, -1, -3) \)

Para determinar si \( \vec{x} \in F \), \( \vec{x} \in G \) o \( \vec{x} \in F + G \), proyectamos \( \vec{x} \) sobre \( \vec{u} = (1, -1, 0) \) y descomponemos \( \vec{x} \) en una suma de dos vectores: uno paralelo a \( \vec{u} \) y otro perpendicular a \( \vec{u} \).

#### d) Base \( B_1 \) del espacio vectorial \( F + G \)

Dado que \( F + G \) es todo \( \mathbb{R}^3 \), una base \( B_1 \) para \( F + G \) sería una base de \( \mathbb{R}^3 \).

#### e) Ecuación de la superficie en la nueva base

La ecuación de la superficie dada es \( 3x^2 + 2xy - 2xz + 3y^2 + 2yz + 3z^2 = 1 \). Para encontrar la ecuación en la nueva base, necesitamos transformar las coordenadas de la base estándar a la nueva base \( \{u, v, w\} \), donde \( u = (1,1,1)/\sqrt{3} \), \( v = (1,-1,0)/\sqrt{2} \), y \( w = (0,1,-1)/\sqrt{2} \).

#### f) Conjunto \( H \)

El conjunto \( H \) está formado por los vectores que tienen las mismas coordenadas respecto a dos bases diferentes \( B_1 \) y \( B_2 \). Para encontrar este conjunto, determinamos las condiciones bajo las cuales las coordenadas de un vector respecto a ambas bases son iguales.

#### g) Verificación de que \( H \) es un subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^3 \)

Para demostrar que \( H \) es un subespacio vectorial, verificamos que satisface las propiedades de cierre bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalar.

### Problema 2

#### Subespacios vectoriales

Para cada subconjunto dado, verificamos si cumple con las condiciones de ser un subespacio vectorial: contiene el vector cero, cerrado bajo adición y cerrado bajo la multiplicación por escalar.

- **a) \( F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \} \)**

- **b) \( G = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2z = 1 \} \)**

- **c) \( H = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid y = 0 \text{ y } x - 2z = 0 \} \)**

- **d) \( I = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z \geq 0 \} \)**

### Respuestas

Vamos a resolver cada una de estas preguntas paso a paso. 

---

**¿Quieres empezar con algún apartado en particular?**

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente?
2. ¿Qué es una base de un espacio vectorial?
3. ¿Cómo se encuentra una base de un subespacio complementario?
4. ¿Qué es una proyección de un vector sobre otro?
5. ¿Cómo se transforma una ecuación en coordenadas de una nueva base?
6. ¿Cuáles son las propiedades de un subespacio vectorial?
7. ¿Qué significa que un conjunto de vectores tenga las mismas coordenadas respecto a dos bases diferentes?
8. ¿Cómo se utiliza el método de Gauss-Jordan para encontrar una forma escalonada reducida?

**Tip:** Para demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial, recuerda siempre verificar las tres condiciones: contener el vector cero, ser cerrado bajo la adición de vectores y ser cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

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