Donada la funció 
f
(
x
)
=
x
4
-
x
3
-
7
x
2
+
m
x
+
6

a) Calculeu el valor de m per tal que f(x) passi pel punt (2, 7).
b) Per m = 1, calculeu els punts de tall i el signe de f(x).

Donada la funció \( f(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + mx + 6 \), podem resoldre els apartats a) i b) com segueix:

### a) Calculeu el valor de \( m \) per tal que \( f(x) \) passi pel punt \( (2, 7) \):

Si la funció passa pel punt \( (2, 7) \), vol dir que en substituint \( x = 2 \) a la funció, el valor resultant ha de ser 7, és a dir:

\[
f(2) = 7
\]

Substituïm \( x = 2 \) a la funció:

\[
f(2) = (2)^4 - (2)^3 - 7(2)^2 + m(2) + 6 = 7
\]

Resolvem els termes:

\[
f(2) = 16 - 8 - 28 + 2m + 6 = 7
\]

Simplifiquem:

\[
-14 + 2m = 7
\]

Aïllem \( m \):

\[
2m = 21 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{21}{2} = 10.5
\]

Així, el valor de \( m \) és \( m = 10.5 \).

### b) Per \( m = 1 \), calculeu els punts de tall i el signe de \( f(x) \):

Substituïm \( m = 1 \) a la funció:

\[
f(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6
\]

#### Punts de tall amb l'eix \( x \) (valors de \( x \) per als quals \( f(x) = 0 \)):

Per trobar els punts de tall amb l'eix \( x \), hem de resoldre l'equació:

\[
x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = 0
\]

Aquesta és una equació de quart grau que generalment requereix tècniques numèriques o factorització per trobar les arrels. Si necessites ajuda en això, podem continuar per fer aproximacions o buscar arrels amb algun mètode específic.

#### Signe de la funció \( f(x) \):

El signe de \( f(x) \) depèn de les arrels de l'equació \( f(x) = 0 \). Entre cada arrel, el signe de la funció pot canviar, i depenent del comportament dels polinomis de grau superior, el signe pot ser consistent cap a l'infinit.

Sense conèixer les arrels exactes, el millor seria obtenir una aproximació numèrica o visualitzar la gràfica de la funció per determinar on és positiva i on és negativa.

---

Vols que calculi les arrels o ampliï algun punt en detall?

### Preguntes relacionades:
1. Quina és la diferència entre una funció polinòmica de grau 3 i de grau 4 pel que fa al comportament del signe?
2. Quins mètodes hi ha per trobar arrels d'una equació de quart grau?
3. Com afecta el valor de \( m \) la posició dels punts de tall amb l'eix \( x \)?
4. Com podem determinar el signe d'una funció polinòmica sense conèixer totes les seves arrels?
5. Què implica que una funció passi per un punt donat, com en aquest cas el punt \( (2, 7) \)?

### Consell:
Quan treballis amb funcions polinòmiques de grau superior, visualitzar la gràfica pot proporcionar intuïció sobre el comportament general de la funció, com els canvis de signe i els punts crítics.

Donada la funció f(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + mx + 6, a) Calculeu el valor de m per tal que f(x) passi pel punt (2, 7). b) Per m = 1, calculeu els punts de tall i el signe de f(x).

Learn how to determine the value of m in the quartic polynomial f(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + mx + 6 to ensure it passes through the point (2, 7). Explore how to find the roots and analyze the sign of the polynomial when m = 1. This problem covers advanced algebraic concepts suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation