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El problema matemático que proporcionaste es el siguiente:

\[
\log_5 \left( \frac{5^{-2} \cdot \sqrt{625}}{25 \cdot \sqrt{125}} \right)
\]

### Resolución paso a paso:

1. **Simplificar los elementos dentro del logaritmo:**

   - \( 5^{-2} \) permanece como está.
   
   - \( \sqrt{625} = 25 \), ya que \( 625 = 25^2 \).
   
   - \( 25 = 5^2 \), así que podemos expresar \( 25 \) como una potencia de \( 5 \).
   
   - \( \sqrt{125} \). Sabemos que \( 125 = 5^3 \), entonces \( \sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{3/2} \).

2. **Sustitución en la expresión original:**

   Reescribimos todo con estas simplificaciones:

   \[
   \log_5 \left( \frac{5^{-2} \cdot 25}{5^2 \cdot 5^{3/2}} \right)
   \]

3. **Simplificar los exponentes:**

   En el numerador tenemos \( 5^{-2} \cdot 25 = 5^{-2} \cdot 5^2 = 5^0 = 1 \).

   En el denominador, tenemos \( 5^2 \cdot 5^{3/2} = 5^{2 + 3/2} = 5^{7/2} \).

   Entonces, la expresión se reduce a:

   \[
   \log_5 \left( \frac{1}{5^{7/2}} \right)
   \]

4. **Aplicar propiedades de logaritmos:**

   Sabemos que \( \log_b \left( \frac{1}{b^x} \right) = -x \), por lo tanto:

   \[
   \log_5 \left( 5^{-7/2} \right) = -\frac{7}{2}
   \]

### Resultado final:

\[
\log_5 \left( \frac{5^{-2} \cdot \sqrt{625}}{25 \cdot \sqrt{125}} \right) = -\frac{7}{2}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se simplifican expresiones logarítmicas con diferentes bases?
2. ¿Qué otras propiedades de logaritmos son útiles para resolver problemas como este?
3. ¿Cómo se puede representar una raíz cuadrada en términos de potencias fraccionarias?
4. ¿Cómo usar la propiedad de cocientes en logaritmos para dividir términos?
5. ¿Cómo afectan los signos negativos en los exponentes al resolver logaritmos?

### Tip:
Recuerda que una de las propiedades fundamentales de los logaritmos es que \( \log_b(b^x) = x \).

log_5 ((5^{-2} * √625) / (25 * √125))

Resuelve paso a paso el logaritmo log_5 ((5^{-2} * √625) / (25 * √125)) usando propiedades de los logaritmos, exponentes y simplificación de radicales. Ideal para estudiantes en grados 9-12.

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