若 R 和S 是自反的，则 R∘S 是自反的。
判断对错

该命题是 **错误的**。

让我们分析为什么。

### 自反性定义：
一个关系 \( R \) 在集合 \( A \) 上是自反的，当且仅当对所有的 \( a \in A \)，都有 \( (a, a) \in R \) 。同样地，关系 \( S \) 是自反的意味着 \( (a, a) \in S \) 对所有 \( a \in A \) 成立。

### 复合关系：
如果 \( R \) 和 \( S \) 是两个在集合 \( A \) 上的关系，复合关系 \( R \circ S \) 定义为：
\[
(a, c) \in R \circ S \iff \exists b \in A, \text{ such that } (a, b) \in S \text{ and } (b, c) \in R.
\]
也就是说，若 \( (a, b) \in S \) 且 \( (b, c) \in R \)，则 \( (a, c) \in R \circ S \)。

### 反例：
假设 \( A = \{1, 2\} \)，定义两个自反的关系 \( R \) 和 \( S \)：
- \( R = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2)\} \)
- \( S = \{(1, 1), (2, 2), (2, 1)\} \)

观察：
- \( R \) 和 \( S \) 都是自反的，因为 \( (1, 1) \) 和 \( (2, 2) \) 都属于它们。
- 然而，计算 \( R \circ S \)：我们检查是否 \( (a, a) \in R \circ S \) 对所有 \( a \in A \) 成立。

对于 \( a = 1 \)，\( (1, 1) \in R \circ S \)，因为：
- \( (1, 1) \in S \)
- \( (1, 1) \in R \)

对于 \( a = 2 \)，\( (2, 2) \in R \circ S \)，因为：
- \( (2, 1) \in S \)
- \( (1, 2) \in R \)

然而，复合关系 \( R \circ S \) 中没有 \( (1, 2) \) 或 \( (2, 1) \)，因此 \( R \circ S \) 不是自反的。

### 结论：
即使 \( R \) 和 \( S \) 都是自反的，复合关系 \( R \circ S \) 可能不是自反的。因此，命题 "若 \( R \) 和 \( S \) 是自反的，则 \( R \circ S \) 是自反的" 是错误的。

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你是否想要更多细节或有任何问题？

#### 相关问题：
1. 如何定义对称关系？
2. 如何定义传递关系？
3. 若 \( R \) 和 \( S \) 都是对称的，则 \( R \circ S \) 是否对称？
4. \( R \circ S \) 的反演关系如何定义？
5. 如何构造一个既非自反也非对称的关系？

#### 小提示：
在分析复合关系时，务必关注中间元素 \( b \) 的存在性，因为它在确定 \( R \circ S \) 的性质中起着关键作用。

若 R 和 S 是自反的，则 R∘S 是自反的。判断对错

Explore the question of whether the composite of two reflexive relations, R∘S, is always reflexive. This detailed analysis, suitable for university-level discrete mathematics students, involves reflexive property definitions, relation composition, and counterexamples to test the validity of the proposition.

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