Mos tre que os plinomios p0=1,p1=x,p2=x^2,...,pn=x^n formam um conjunto linearmente independente. Ou seja, mostre que a equação vetorial a0p0+a1p1+a2p2+...+anpn = 0 tem apenas a solução trivial a0=a1=a2=...=an=0.

Uma sugestão é mostrar que, após n derivações, ficamos comm n!an=0


Vamos mostrar que os polinômios \( p_0 = 1 \), \( p_1 = x \), \( p_2 = x^2 \), \(\dots\), \( p_n = x^n \) formam um conjunto linearmente independente, ou seja, que a equação vetorial

\[
a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 + \dots + a_n p_n = 0
\]

tem apenas a solução trivial \( a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 \).

### 1. Escrevendo a equação
A equação pode ser reescrita como:

\[
a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \dots + a_n \cdot x^n = 0
\]

Essa é uma equação polinomial de grau \( n \) onde os coeficientes são \( a_0, a_1, \dots, a_n \). Queremos mostrar que todos esses coeficientes devem ser iguais a zero.

### 2. Método das Derivações

Para simplificar a análise, utilizaremos a sugestão de derivar a equação várias vezes. Vamos derivar essa equação \( n \) vezes com relação a \( x \).

#### Derivação da equação:

1. **Primeira derivada:** Derivando uma vez, temos:

   \[
   a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2x + a_3 \cdot 3x^2 + \dots + a_n \cdot n x^{n-1} = 0
   \]

2. **Segunda derivada:** Derivando novamente:

   \[
   a_2 \cdot 2 + a_3 \cdot 6x + a_4 \cdot 12x^2 + \dots + a_n \cdot n(n-1) x^{n-2} = 0
   \]

Continuamos esse processo até derivarmos \( n \) vezes.

3. **Derivada \( n \)-ésima:**

   Quando derivamos \( n \) vezes, o único termo que sobrevive é o termo de grau \( n \), que é:

   \[
   a_n \cdot n! = 0
   \]

Como \( n! \) (fatorial de \( n \)) é diferente de zero, segue que:

\[
a_n = 0
\]

### 3. Voltando para as outras constantes

Agora que sabemos que \( a_n = 0 \), substituímos esse valor de volta na equação original e repetimos o processo para os termos de grau \( n-1 \). Continuamos derivando a equação sucessivamente até que todos os coeficientes \( a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0 \) também sejam zero.

### 4. Conclusão

Portanto, mostramos que a única solução para a equação vetorial é a solução trivial \( a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 \). Isso prova que os polinômios \( p_0 = 1 \), \( p_1 = x \), \( p_2 = x^2 \), \(\dots\), \( p_n = x^n \) são linearmente independentes.

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

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**Dica:** A independência linear é uma propriedade fundamental que garante que nenhum vetor em um conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso é essencial para a construção de bases em espaços vetoriais.

Explore how to prove the linear independence of the polynomial set {p0=1, p1=x, p2=x^2, ..., pn=x^n} through rigorous mathematical analysis. Learn about derivatives and the fundamental theorem of algebra in this advanced undergraduate level mathematical problem.

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