Demostrar que : ∫1x dt/1+t^2 =∫1/x1 dt/1+t^2

Para demostrar que:

\[
\int_1^x \frac{dt}{1+t^2} = \int_{1/x}^1 \frac{dt}{1+t^2}
\]

Podemos realizar un cambio de variable en la segunda integral. Vamos a proceder con los siguientes pasos:

### Paso 1: Cambio de variable en la segunda integral

Sea \( u = \frac{1}{t} \). Entonces, la derivada de \( u \) con respecto a \( t \) es:

\[
du = -\frac{1}{t^2} dt
\]

Por lo tanto, el diferencial \( dt \) es:

\[
dt = -t^2 du = -\frac{1}{u^2} du
\]

Ahora, tenemos que también ajustar los límites de integración. Cuando \( t = \frac{1}{x} \), \( u = x \), y cuando \( t = 1 \), \( u = 1 \). Así que la integral en términos de \( u \) se convierte en:

\[
\int_{1/x}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \int_x^1 \frac{-du/u^2}{1+\frac{1}{u^2}} = \int_x^1 \frac{-du}{1+u^2}
\]

### Paso 2: Simplificación de la integral

El signo negativo se puede invertir para cambiar los límites de integración:

\[
\int_x^1 \frac{-du}{1+u^2} = \int_1^x \frac{du}{1+u^2}
\]

### Paso 3: Conclusión

Hemos demostrado que:

\[
\int_{1/x}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \int_1^x \frac{du}{1+u^2}
\]

Por lo tanto, se cumple que:

\[
\int_1^x \frac{dt}{1+t^2} = \int_{1/x}^1 \frac{dt}{1+t^2}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se aplica el cambio de variable en otros tipos de integrales?
2. ¿Cuál es la importancia de los límites de integración al hacer un cambio de variable?
3. ¿Por qué el signo negativo cambia los límites de integración?
4. ¿Qué tipo de funciones involucra frecuentemente el cambio de variable \( u = \frac{1}{t} \)?
5. ¿Cómo podríamos resolver la integral de \( \frac{1}{1+t^2} \) directamente?

**Tip:** Los cambios de variable son especialmente útiles cuando los límites de integración son funciones inversas o simétricas.

Learn how to prove the equality between two definite integrals involving a change of variables. This solution covers key concepts from integral calculus, including the substitution rule and symmetry in limits. Suitable for university-level calculus students.

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