Hallar todos los valores reales de x
 tales que

 

                          ∫x0(t^3−t)dt=1/3∫x√2(t−t^3)dt
.

 

Dibujar una figura adecuada e interpretar geométricamente la igualdad. 

Tenemos la ecuación integral:

\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt.
\]

### Paso 1: Resolver las integrales
Primero, evaluemos ambas integrales por separado.

#### 1.1: Integral del lado izquierdo
\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \int_0^x t^3 \, dt - \int_0^x t \, dt
\]
Calculamos ambas integrales:

\[
\int_0^x t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} \Big|_0^x = \frac{x^4}{4},
\]
\[
\int_0^x t \, dt = \frac{t^2}{2} \Big|_0^x = \frac{x^2}{2}.
\]
Por lo tanto, la integral completa del lado izquierdo es:
\[
\int_0^x (t^3 - t) \, dt = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}.
\]

#### 1.2: Integral del lado derecho
\[
\int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt = \int_{\sqrt{2}}^x t \, dt - \int_{\sqrt{2}}^x t^3 \, dt
\]
Calculamos ambas integrales:

\[
\int_{\sqrt{2}}^x t \, dt = \frac{t^2}{2} \Big|_{\sqrt{2}}^x = \frac{x^2}{2} - \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{x^2}{2} - 1,
\]
\[
\int_{\sqrt{2}}^x t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} \Big|_{\sqrt{2}}^x = \frac{x^4}{4} - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = \frac{x^4}{4} - 1.
\]
Por lo tanto, la integral completa del lado derecho es:
\[
\int_{\sqrt{2}}^x (t - t^3) \, dt = \left(\frac{x^2}{2} - 1\right) - \left(\frac{x^4}{4} - 1\right) = \frac{x^2}{2} - 1 - \frac{x^4}{4} + 1 = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}.
\]

### Paso 2: Igualar las integrales
La ecuación original se convierte en:
\[
\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = \frac{1}{3} \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right).
\]
Multiplicamos ambos lados por 12 para eliminar los denominadores:
\[
3x^4 - 6x^2 = 2(x^2 - x^4).
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
3x^4 - 6x^2 = 2x^2 - 2x^4,
\]
\[
5x^4 - 8x^2 = 0.
\]
Factorizamos:
\[
x^2(5x^2 - 8) = 0.
\]

### Paso 3: Solucionar la ecuación
De la factorización, tenemos dos soluciones posibles:

1. \( x^2 = 0 \), lo que implica que \( x = 0 \).
2. \( 5x^2 - 8 = 0 \), lo que implica que \( x^2 = \frac{8}{5} \), es decir, \( x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5} \).

### Valores reales de \(x\):
Por lo tanto, los valores reales de \(x\) que satisfacen la ecuación son:
\[
x = 0, \quad x = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5}.
\]

### Interpretación geométrica
La ecuación integra áreas bajo curvas representadas por \( t^3 - t \) y \( t - t^3 \). Estas áreas, cuando se igualan, indican una simetría geométrica relacionada con las áreas limitadas por estas funciones. La igualdad refleja cómo los cambios en las áreas entre los intervalos \([0,x]\) y \([\sqrt{2}, x]\) deben ajustarse para mantener una proporción de \(1/3\) entre las áreas de las dos curvas.

¿Te gustaría que desarrolle una figura para ilustrar esta interpretación geométrica? También podría darte más detalles sobre cómo se relacionan las áreas. 

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se evalúan otras integrales similares?
2. ¿Qué significado geométrico tiene una ecuación integral?
3. ¿Cómo afecta el intervalo de integración a los resultados?
4. ¿Qué sucede si cambiamos la función integranda?
5. ¿Cómo se comporta la solución cuando el coeficiente \( \frac{1}{3} \) cambia?

**Tip**: Para resolver ecuaciones integrales, es útil resolver primero las integrales antes de manipularlas algebraicamente.

Hallar todos los valores reales de x tales que ∫x0(t^3−t)dt=1/3∫x√2(t−t^3)dt. Dibujar una figura adecuada e interpretar geométricamente la igualdad.

Learn how to solve a definite integral equation involving ∫_0^x(t^3 - t)dt = (1/3)∫_√2^x(t - t^3)dt. This problem demonstrates integral calculus, algebraic manipulation, and the geometric interpretation of area symmetry. A step-by-step solution is provided, suitable for college-level students.

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