on considere la suite U_n  definie par u_0=5 et u_(n+1)=1/2 u_n+1 pour tout n ∈IN
montere par recurence que 2 ≤u_n≤5 pour tout entier n≥0


Pour démontrer que \( 2 \leq u_n \leq 5 \) pour tout entier \( n \geq 0 \), on utilise la méthode de **récurrence**.

### Initialisation (n = 0) :
On doit vérifier que l'inégalité est vraie pour \( n = 0 \).

On sait que \( u_0 = 5 \). Clairement :
\[
2 \leq 5 \leq 5
\]
Donc, l'inégalité est vérifiée pour \( n = 0 \).

### Hérédité :
Supposons que l'inégalité est vraie pour un entier \( n \), c'est-à-dire :
\[
2 \leq u_n \leq 5
\]
Il s'agit de montrer que l'inégalité reste vraie pour \( n+1 \), c'est-à-dire :
\[
2 \leq u_{n+1} \leq 5
\]
On sait que \( u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1 \). Utilisons cette relation pour étudier les bornes de \( u_{n+1} \).

1. **Bornes inférieures :**

Puisque \( u_n \geq 2 \), on a :
\[
u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1 \geq \frac{1}{2} \times 2 + 1 = 2
\]
Donc, \( u_{n+1} \geq 2 \).

2. **Bornes supérieures :**

Puisque \( u_n \leq 5 \), on a :
\[
u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1 \leq \frac{1}{2} \times 5 + 1 = \frac{5}{2} + 1 = 3.5
\]
Ainsi, \( u_{n+1} \leq 5 \).

### Conclusion :
Nous avons montré que si \( 2 \leq u_n \leq 5 \), alors \( 2 \leq u_{n+1} \leq 5 \). Par le principe de récurrence, l'inégalité est donc vraie pour tout \( n \geq 0 \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions associées :
1. Comment fonctionne le principe de récurrence en mathématiques ?
2. Comment déterminer la limite d'une suite définie par récurrence ?
3. Quel est l'effet de l'ajout de la constante dans la récurrence \( u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1 \) ?
4. Que se passerait-il si la condition initiale \( u_0 \) changeait ?
5. Peut-on déterminer une expression explicite pour \( u_n \) ?

**Tip** : Lorsque vous travaillez avec des suites récurrentes, examinez attentivement les comportements des bornes pour faciliter les démonstrations par récurrence.

On considère la suite U_n définie par u_0 = 5 et u_(n+1) = 1/2 u_n + 1 pour tout n ∈ IN. Montrer par récurrence que 2 ≤ u_n ≤ 5 pour tout entier n ≥ 0.

Explore a proof by mathematical induction to show that for the recursive sequence defined by u_0 = 5 and u_(n+1) = 1/2 * u_n + 1, the inequality 2 ≤ u_n ≤ 5 holds for all integers n ≥ 0. This example highlights core concepts in sequences, inequalities, and recurrence relations, ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation