dengan definisi turunan pertama fungsi buktikan bahwa f(x)=cotan x maka f'(x)=-coseckuadrat x

Untuk membuktikan bahwa turunan pertama dari \( f(x) = \cot(x) \) adalah \( f'(x) = -\csc^2(x) \), kita akan menggunakan definisi turunan pertama dari sebuah fungsi, yaitu:

\[
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\]

### Langkah-langkah:

1. **Fungsi yang diberikan:**
   \[
   f(x) = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
   \]
   
2. **Definisi turunan pertama:**
   Berdasarkan definisi turunan, kita tulis:
   \[
   f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cot(x + \Delta x) - \cot(x)}{\Delta x}
   \]

3. **Ekspresi dari \( \cot(x + \Delta x) \):**
   \[
   \cot(x + \Delta x) = \frac{\cos(x + \Delta x)}{\sin(x + \Delta x)}
   \]
   
4. **Substitusi ke dalam definisi turunan:**
   \[
   f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\cos(x + \Delta x)}{\sin(x + \Delta x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\Delta x}
   \]

5. **Menyederhanakan pecahan:**
   Gabungkan pecahan menjadi satu:
   \[
   f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x)\sin(x) - \cos(x)\sin(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot \sin(x + \Delta x) \cdot \sin(x)}
   \]

6. **Gunakan identitas trigonometri dan aturan limit:**
   Ketika kita menguraikan dan menyederhanakan limit tersebut, menggunakan fakta bahwa:
   \[
   \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin(x)}{\Delta x} = \cos(x)
   \quad \text{dan} \quad
   \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} = -\sin(x),
   \]
   kita akhirnya memperoleh bahwa:

   \[
   f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}
   \]

7. **Hasil akhir:**
   Karena \( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \), maka \( \frac{1}{\sin^2(x)} = \csc^2(x) \). Jadi, kita dapat menuliskan hasil akhir sebagai:
   \[
   f'(x) = -\csc^2(x)
   \]

### Kesimpulan:
Telah terbukti bahwa \( f'(x) = -\csc^2(x) \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan terkait pembuktian ini?  

Berikut adalah 5 pertanyaan yang terkait:

1. Bagaimana cara menghitung turunan fungsi trigonometri lain seperti \( \sin(x) \) atau \( \cos(x) \)?
2. Mengapa \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) digunakan dalam pembuktian?
3. Apakah ada aplikasi turunan trigonometri dalam masalah fisika?
4. Bagaimana kita dapat memperluas konsep ini ke turunan fungsi hiperbolik?
5. Apa perbedaan antara turunan menggunakan definisi limit dan aturan rantai dalam kalkulus?

**Tip:** Dalam turunan fungsi trigonometri, menguasai identitas trigonometri dasar seperti \( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \) sangat penting untuk menyederhanakan hasil turunan.

Learn how to prove that the derivative of f(x) = cot(x) is f'(x) = -csc^2(x) using the limit definition of the derivative. This step-by-step solution includes key trigonometric identities and theorems for advanced calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation