Ein Fußball wird am Punkt 0 0 abgeschossen und beschreibt eine parabelförmige Flugbahn. Der Ball landet am Punkt 30 0. Seine größte hHöhe betrug 6. In welcher Entfernung vom Schützen hatte er eine Höhe von 4.

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir die Gleichung der Parabel bestimmen, die den Flugweg des Balls beschreibt.

1. Der Ball wird bei \( (0,0) \) abgeschossen und landet bei \( (30,0) \). Daher sind die beiden Nullstellen der Parabel \( x = 0 \) und \( x = 30 \).
2. Die Höhe beträgt 6 an der höchsten Stelle der Parabel. Da die Flugbahn symmetrisch ist, liegt die maximale Höhe bei der x-Koordinate \( x = \frac{30}{2} = 15 \).

### Parabelgleichung aufstellen
Die allgemeine Form der Parabel lautet:
\[
y = a(x - x_1)(x - x_2)
\]
wobei \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = 30 \) die Nullstellen sind. Somit:
\[
y = a \cdot x(x - 30)
\]

Um den Wert von \( a \) zu bestimmen, verwenden wir die Information, dass die Höhe bei \( x = 15 \) gleich 6 ist:
\[
6 = a \cdot 15(15 - 30)
\]
\[
6 = a \cdot 15(-15)
\]
\[
6 = -225a
\]
\[
a = -\frac{6}{225} = -\frac{2}{75}
\]

Die Gleichung der Parabel lautet also:
\[
y = -\frac{2}{75} x(x - 30)
\]

### Höhe 4 bestimmen
Nun setzen wir \( y = 4 \) in die Parabelgleichung ein und berechnen die entsprechenden \( x \)-Werte:
\[
4 = -\frac{2}{75} x(x - 30)
\]
Multiplizieren mit 75:
\[
300 = -2x(x - 30)
\]
Teilen durch -2:
\[
-150 = x(x - 30)
\]
Umformen zu einer quadratischen Gleichung:
\[
x^2 - 30x - 150 = 0
\]
Diese lösen wir mit der Mitternachtsformel:
\[
x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 600}}{2}
\]
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{1500}}{2}
\]
\[
x = \frac{30 \pm 38.73}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{30 + 38.73}{2} = 34.37, \quad x_2 = \frac{30 - 38.73}{2} = -4.37
\]

Da eine negative Entfernung keinen Sinn ergibt, ist die Entfernung \( x = 34.37 \, \text{m} \).

### Antwort:
Der Ball hatte in einer Entfernung von etwa **4,37 Metern** vom Schützen eine Höhe von 4 Metern.

Haben Sie dazu Fragen oder möchten Sie eine detaillierte Erklärung zu einem der Schritte?

**Verwandte Fragen:**
1. Wie leitet man die allgemeine Parabelgleichung ab?
2. Welche Rolle spielt die Symmetrie bei Flugbahnen von Projektilen?
3. Wie würde sich die Flugbahn ändern, wenn der Ball bei einer anderen Höhe landen würde?
4. Wie lässt sich die Wurfweite eines Projektils ohne Luftwiderstand berechnen?
5. Was ist der Unterschied zwischen einer Flugbahn mit und ohne Luftwiderstand?

**Tipp**: Bei Flugbahnproblemen kann die Symmetrie der Parabel oft genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen!

Ein Fußball wird am Punkt 0 0 abgeschossen und beschreibt eine parabelförmige Flugbahn. Der Ball landet am Punkt 30 0. Seine größte Höhe betrug 6. In welcher Entfernung vom Schützen hatte er eine Höhe von 4?

Discover how to calculate the distance at which a football reaches a height of 4 meters during its parabolic flight. The ball is kicked from point (0, 0) and lands at point (30, 0), with a maximum height of 6 meters. This step-by-step guide explores quadratic equations and projectile motion, suitable for high school students in Grades 10-12.

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