Sean los planos π1:y−z=0
, 

π2:⎧⎩⎨⎪⎪x=1+λ−μy=2+λ−2μz=−1+2λ−3μ
,



 π3:x=−2
. Entonces:



Pregunta 4Seleccione una:

a.
Los planos π1
 y π2
 no se cortan


b.
Los planos π2
 y π3
 no se cortan


c.
Los planos se cortan en un único punto.


d.
Los planos se cortan en una recta.


e.
Los planos π1
 y π3
 no se cortan


f.
La intesección π1∩π2∩π3
 es vacía

Analicemos la situación y las ecuaciones de los planos para determinar cómo se intersectan.

1. **Plano \(\pi_1\)**:
   La ecuación es \( y - z = 0 \), lo que se puede reescribir como \( y = z \). Este plano representa los puntos en el espacio tridimensional donde las coordenadas \(y\) y \(z\) son iguales.

2. **Plano \(\pi_2\)**:
   Viene dado paramétricamente por:
   \[
   \begin{aligned}
   x &= 1 + \lambda - \mu \\
   y &= 2 + \lambda - 2\mu \\
   z &= -1 + 2\lambda - 3\mu
   \end{aligned}
   \]
   donde \(\lambda\) y \(\mu\) son parámetros. Esta es la ecuación de un plano que contiene una recta en el espacio.

3. **Plano \(\pi_3\)**:
   Este es simplemente el plano \( x = -2 \), es decir, contiene todos los puntos donde la coordenada \(x\) es igual a \(-2\).

### Paso 1: Intersección entre \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
Sustituyamos \( y = z \) (de \(\pi_1\)) en las ecuaciones paramétricas de \(\pi_2\):

\[
2 + \lambda - 2\mu = -1 + 2\lambda - 3\mu
\]

Simplifiquemos esta ecuación:

\[
2 + \lambda - 2\mu = -1 + 2\lambda - 3\mu
\]
\[
3 = \lambda - \mu
\]
\[
\lambda = 3 + \mu
\]

Ahora tenemos una relación entre \(\lambda\) y \(\mu\).

Sustituyamos esto en las ecuaciones paramétricas de \(\pi_2\):

\[
x = 1 + (3 + \mu) - \mu = 4
\]
\[
y = 2 + (3 + \mu) - 2\mu = 5 - \mu
\]
\[
z = -1 + 2(3 + \mu) - 3\mu = 5 + \mu
\]

Ya que \(y = z\) por \(\pi_1\), imponemos \(5 - \mu = 5 + \mu\), lo que da \(\mu = 0\). Entonces, sustituyendo \(\mu = 0\) en las ecuaciones obtenemos el punto de intersección:

\[
x = 4, \quad y = 5, \quad z = 5
\]

Por lo tanto, \(\pi_1\) y \(\pi_2\) se intersectan en el punto \( (4, 5, 5) \).

### Paso 2: Intersección con \(\pi_3\)
El plano \(\pi_3\) es \(x = -2\). Observamos que el punto \( (4, 5, 5) \), que es el punto de intersección entre \(\pi_1\) y \(\pi_2\), no satisface la condición \(x = -2\). Por lo tanto, \(\pi_1\), \(\pi_2\) y \(\pi_3\) **no se cortan en un mismo punto**.

### Conclusión:
Dado que no se intersectan en un solo punto, pero sabemos que \(\pi_1\) y \(\pi_2\) se intersectan en un punto, mientras que \(\pi_3\) no se intersecta con los otros dos planos en ese mismo punto, la respuesta correcta es:

**f. La intersección \(\pi_1 \cap \pi_2 \cap \pi_3\) es vacía.**

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otras formas pueden tener las intersecciones entre tres planos en el espacio tridimensional?
2. ¿Cómo se determina si dos planos no se cortan en absoluto?
3. ¿Cómo influye la parametrización de un plano en la determinación de intersecciones?
4. ¿Qué sucede si dos planos son paralelos? ¿Cómo afecta esto la intersección con un tercer plano?
5. ¿Qué método se podría usar para verificar si dos planos son coincidentes?

**Tip**: Las ecuaciones paramétricas son útiles para describir planos y líneas en el espacio tridimensional, ya que permiten trabajar con parámetros libres para analizar la intersección de planos o líneas.

Sean los planos π1:y−z=0, π2:{x=1+λ−μ, y=2+λ−2μ, z=−1+2λ−3μ}, π3:x=−2. Entonces: Pregunta 4Seleccione una: a. Los planos π1 y π2 no se cortan, b. Los planos π2 y π3 no se cortan, c. Los planos se cortan en un único punto, d. Los planos se cortan en una recta, e. Los planos π1 y π3 no se cortan, f. La intersección π1∩π2∩π3 es vacía.

Analyze the intersection of three planes π1: y = z, π2: x=1+λ−μ, y=2+λ−2μ, z=−1+2λ−3μ, and π3: x=-2. Explore parametric equations and determine if the intersection is empty or occurs at a point or line. Suitable for university-level students studying analytic geometry.

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