Se lanza una flecha con una velocidad inicial de 25 m/s. La altura (en metros) que alcanza
la flecha en funci´on del tiempo (en segundos) est´a dada por el modelo h(t) = −10t2 + 25t.
Para qu´e intervalo de tiempo la flecha est´a a una altura inferior a los 10 m.?

El problema plantea que la altura de la flecha en función del tiempo está dada por la ecuación:

\[
h(t) = -10t^2 + 25t
\]

Queremos determinar el intervalo de tiempo en el que la flecha está a una altura inferior a los 10 metros, es decir, buscamos \( t \) tal que:

\[
h(t) < 10
\]

Primero, planteamos la ecuación de altura igual a 10:

\[
-10t^2 + 25t = 10
\]

Restamos 10 en ambos lados para obtener una ecuación cuadrática:

\[
-10t^2 + 25t - 10 = 0
\]

Resolviendo esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = -10 \), \( b = 25 \), y \( c = -10 \).

Primero calculamos el discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \):

\[
\Delta = 25^2 - 4(-10)(-10) = 625 - 400 = 225
\]

Ahora aplicamos la fórmula:

\[
t = \frac{-25 \pm \sqrt{225}}{2(-10)}
\]

\[
t = \frac{-25 \pm 15}{-20}
\]

Esto nos da dos soluciones para \( t \):

\[
t_1 = \frac{-25 + 15}{-20} = \frac{-10}{-20} = 0.5
\]
\[
t_2 = \frac{-25 - 15}{-20} = \frac{-40}{-20} = 2
\]

Por lo tanto, la flecha está a una altura de 10 metros en \( t = 0.5 \) y \( t = 2 \) segundos.

### Análisis del intervalo

Para saber cuándo la altura es menor que 10 metros, analizamos los intervalos entre estos dos valores. Dado que la función \( h(t) = -10t^2 + 25t \) es una parábola con concavidad hacia abajo (por el término \( -10t^2 \)), la flecha estará por debajo de los 10 metros en los intervalos fuera de \( [0.5, 2] \).

Por lo tanto, la flecha estará a una altura inferior a 10 metros en los siguientes intervalos de tiempo:

\[
t \in [0, 0.5) \cup (2, \infty)
\]

### Respuesta final:
La flecha estará a una altura inferior a 10 metros en los intervalos de tiempo \( t \in [0, 0.5) \cup (2, \infty) \).

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle?

---

Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo resolver una ecuación cuadrática usando factorización?
2. ¿Qué significa el discriminante de una ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo afecta la concavidad de una parábola a los intervalos de solución?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver desigualdades cuadráticas?
5. ¿Cómo se interpreta físicamente el tiempo negativo en problemas de movimiento?

**Tip:** La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es útil cuando no se pueden factorizar fácilmente.

Se lanza una flecha con una velocidad inicial de 25 m/s. La altura (en metros) que alcanza la flecha en función del tiempo (en segundos) está dada por el modelo h(t) = −10t^2 + 25t. Para qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura inferior a los 10 m.?

Learn how to find the time interval when a projectile launched with an initial velocity of 25 m/s is at a height of less than 10 meters. This problem uses key algebraic concepts such as quadratic equations, the discriminant, and projectile motion. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation