(a) Mediante una gráfica, deduzca el valor del límite

(b) Con una gráfica de la sucesión del inciso (a) calcule los
valores más pequeños de N que corresponden a   0.1 y
  0.001 en la definición 2.

lím
n l 
n5
n!

Entiendo que quieres abordar la parte (a) y (b) del problema utilizando gráficas para deducir el valor del límite y calcular los valores de \( N \) correspondientes a \( \epsilon = 0.1 \) y \( \epsilon = 0.001 \).

El límite que se menciona es:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{n!}
\]

### Análisis del límite

Este límite involucra dos componentes principales:

1. \( n^5 \), que es un polinomio de grado 5.
2. \( n! \) (n factorial), que es el producto de todos los enteros positivos hasta \( n \).

Al comparar estos dos términos a medida que \( n \) aumenta, podemos observar que \( n! \) crece mucho más rápido que \( n^5 \), debido a la multiplicación continua en el factorial.

### Parte (a): Deducción del Límite Mediante Gráfica

Para deducir el límite usando una gráfica, tendríamos que graficar la función:

\[
f(n) = \frac{n^5}{n!}
\]

Al graficar esta función para valores de \( n \) grandes, notaríamos que la función tiende a disminuir a medida que \( n \) aumenta. Esto se debe a que el factorial en el denominador crece mucho más rápido que el polinomio en el numerador.

Por lo tanto, basándonos en la gráfica, se podría deducir que:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{n!} = 0
\]

### Parte (b): Valores de \( N \) para \( \epsilon = 0.1 \) y \( \epsilon = 0.001 \)

Para calcular los valores más pequeños de \( N \) correspondientes a \( \epsilon = 0.1 \) y \( \epsilon = 0.001 \), necesitamos encontrar el \( N \) más pequeño tal que para todos \( n > N \), se cumpla:

\[
\left| \frac{n^5}{n!} \right| < \epsilon
\]

#### Pasos a seguir:

1. **Graficar la función** \( \frac{n^5}{n!} \) para valores de \( n \) razonablemente grandes.
2. **Determinar visualmente** o analíticamente en qué punto la función baja por debajo de \( 0.1 \) y \( 0.001 \).

Para encontrar estos valores exactos de \( N \), se requeriría graficar la función y analizar dónde cruza los umbrales de \( 0.1 \) y \( 0.001 \).

### ¿Deseas que realice la gráfica para hallar estos valores de \( N \)?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo influye el factorial en el crecimiento de funciones?
2. ¿Por qué la función \( n! \) crece más rápido que \( n^5 \)?
3. ¿Qué sucede con la gráfica de \( \frac{n^5}{n!} \) a medida que \( n \) aumenta?
4. ¿Cómo podemos utilizar la gráfica para identificar cuándo la función cae por debajo de un valor dado?
5. ¿Qué otros métodos existen para calcular límites en lugar de usar gráficas?

### Consejo
Cuando compares un polinomio con un factorial, es útil recordar que los factoriales crecen mucho más rápido que cualquier polinomio, lo cual es clave para evaluar este tipo de límites.

Explore how to deduce the limit value \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{n!} \) using graphical analysis. Calculate the smallest values of N corresponding to \( \epsilon = 0.1 \) and \( \epsilon = 0.001 \) in Definition 2. Detailed solution and step-by-step analysis suitable for advanced undergraduate students.

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