¡Claro! Aquí tienes la transcripción del problema:

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A un periquito se le instruye colocar tres objetos de colores (rojo, amarillo y verde) en tres cajas de cada color. Suponga que es la primera vez que el periquito elige los objetos para colocarlos uno en una caja. Definamos los eventos:
- **A1**: El objeto rojo fue colocado en la caja roja.
- **A2**: El objeto amarillo fue colocado en la caja amarilla.
- **A3**: El objeto verde fue colocado en la caja verde.

1. Encuentre la probabilidad de que ninguno de los objetos coincida con el color de su respectiva caja.
2. Demuestre que la probabilidad de que solo un objeto coincida con su respectiva caja es:
\[ P(\text{sólo 1 coincidencia}) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - 2[P(A1 \cap A2) + P(A1 \cap A3) + P(A2 \cap A3)] + 3P(A1 \cap A2 \cap A3) \]

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resuelve y demuetsra

¡Claro! Vamos a resolver los dos problemas planteados.

### 1. Probabilidad de que ninguno de los objetos coincida con el color de su respectiva caja

Este problema es un caso de **permutación derangement** (desarreglo), que es una permutación de un conjunto en la que ningún elemento se coloca en su posición original. 

Para un conjunto de \( n \) elementos, la fórmula para el número de desarreglos \( D_n \) es:

\[
D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}
\]

En este caso, tenemos 3 objetos (rojo, amarillo, verde) y 3 cajas correspondientes. Así que necesitamos encontrar \( D_3 \) y luego la probabilidad será el número de desarreglos sobre el número total de permutaciones, que es \( 3! = 6 \).

Calculemos \( D_3 \):

\[
D_3 = 3! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} \right)
\]
\[
D_3 = 6 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)
\]
\[
D_3 = 6 \times \frac{2}{6} = 2
\]

Entonces, la probabilidad de que ninguno de los objetos coincida con el color de su respectiva caja es:

\[
P(\text{ninguno coincide}) = \frac{D_3}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

### 2. Demostración de la probabilidad de que solo un objeto coincida con su respectiva caja

La probabilidad de que solo un objeto coincida con su caja se puede calcular utilizando la fórmula de inclusión-exclusión. Consideramos tres eventos \( A1 \), \( A2 \) y \( A3 \) donde cada uno representa que un objeto está en la caja de su color.

Queremos calcular:

\[
P(\text{sólo 1 coincidencia}) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - 2[P(A1 \cap A2) + P(A1 \cap A3) + P(A2 \cap A3)] + 3P(A1 \cap A2 \cap A3)
\]

**Explicación paso a paso:**

- **Primer término:** \( P(A1) + P(A2) + P(A3) \)

  La probabilidad de que cada objeto esté en su respectiva caja es \( \frac{1}{3} \) para cada caso. Como hay tres objetos:

  \[
  P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1 + 1 + 1 = 1
  \]

- **Segundo término:** \( 2[P(A1 \cap A2) + P(A1 \cap A3) + P(A2 \cap A3)] \)

  Aquí se considera que dos objetos coinciden simultáneamente con sus cajas, lo que es un subconjunto de casos que ya se han contado. Hay \( \frac{1}{6} \) de probabilidad de que dos objetos coincidan simultáneamente, y hay tres pares posibles:

  \[
  2 \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \right) = 2 \times \frac{3}{6} = 1
  \]

- **Tercer término:** \( 3P(A1 \cap A2 \cap A3) \)

  Esta es la probabilidad de que todos los objetos coincidan con sus respectivas cajas. Dado que hay una única configuración donde todos coinciden:

  \[
  P(A1 \cap A2 \cap A3) = \frac{1}{6}
  \]

  El valor es:

  \[
  3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}
  \]

Entonces, aplicando la fórmula completa:

\[
P(\text{sólo 1 coincidencia}) = 1 - 1 + \frac{1}{2} = 0
\]

La probabilidad total es la combinación de estos eventos.

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¿Te gustaría profundizar en algún paso o necesitas más detalles? 

Aquí hay cinco preguntas relacionadas para que puedas explorar más el tema:
1. ¿Cómo se relaciona la fórmula de inclusión-exclusión con la teoría de conjuntos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente dos coincidencias en este problema?
3. ¿Cómo se generaliza este problema para un número mayor de objetos y cajas?
4. ¿Qué es un desarreglo y cómo se aplica en otros contextos?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen estos conceptos de probabilidad combinatoria?

**Tip:** Cuando trabajes con desarreglos, recuerda que es un caso especial de permutaciones donde se imponen restricciones.

A un periquito se le instruye colocar tres objetos de colores (rojo, amarillo y verde) en tres cajas de cada color. Suponga que es la primera vez que el periquito elige los objetos para colocarlos uno en una caja. Definamos los eventos: A1: El objeto rojo fue colocado en la caja roja. A2: El objeto amarillo fue colocado en la caja amarilla. A3: El objeto verde fue colocado en la caja verde. 1. Encuentre la probabilidad de que ninguno de los objetos coincida con el color de su respectiva caja. 2. Demuestre que la probabilidad de que solo un objeto coincida con su respectiva caja es: P(sólo 1 coincidencia) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - 2[P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A3) + P(A2 ∩ A3)] + 3P(A1 ∩ A2 ∩ A3)

Solve a probability problem involving placing three colored objects in corresponding colored boxes. Learn how to calculate the probability of none of the objects matching their box using the derangement formula and the probability of only one match with the inclusion-exclusion principle. Suitable for Grades 11-12.

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