Dans une assemblée de 250 personnes, on note qu’il y a : • 120 hommes portent la cravate. • 85 hommes ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée. 1. Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate.2. Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux  bleus et portant la cravate. 3. Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate ? 4. Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate ?

Nous allons résoudre ce problème en appliquant les formules de probabilité. Soit \( P(A) \) la probabilité qu'un événement \( A \) se produise, le total des personnes dans l'assemblée est de 250. Les hommes portant la cravate et les hommes aux yeux bleus constituent deux groupes sur lesquels nous devons travailler.

### Données :
- \( 250 \) personnes en tout dans l'assemblée.
- \( 120 \) hommes portent la cravate.
- \( 85 \) hommes ont les yeux bleus, dont \( 50 \) portent la cravate.

#### Question 1 : Probabilité que la personne choisie soit un homme portant la cravate.
Le nombre d'hommes portant la cravate est \( 120 \). La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit un homme portant la cravate est donc :

\[
P(\text{homme avec cravate}) = \frac{120}{250}
\]

\[
P(\text{homme avec cravate}) = 0,48
\]

#### Question 2 : Probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate.
Le nombre d'hommes aux yeux bleus et portant la cravate est \( 50 \). La probabilité que la personne choisie soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate est donc :

\[
P(\text{homme aux yeux bleus et cravate}) = \frac{50}{250}
\]

\[
P(\text{homme aux yeux bleus et cravate}) = 0,2
\]

#### Question 3 : Probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate.
Pour cela, on utilise la formule de probabilité d'union des événements : 

\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]

Ici, \( P(A) \) est la probabilité qu'un homme porte la cravate, et \( P(B) \) est la probabilité qu'un homme ait les yeux bleus. Nous avons déjà \( P(A \cap B) \), c'est-à-dire la probabilité qu'un homme ait à la fois les yeux bleus et porte la cravate.

\[
P(A) = \frac{120}{250}, \quad P(B) = \frac{85}{250}, \quad P(A \cap B) = \frac{50}{250}
\]

Ainsi,

\[
P(\text{homme aux yeux bleus ou cravate}) = \frac{120}{250} + \frac{85}{250} - \frac{50}{250}
\]

\[
P(\text{homme aux yeux bleus ou cravate}) = \frac{155}{250}
\]

\[
P(\text{homme aux yeux bleus ou cravate}) = 0,62
\]

#### Question 4 : Probabilité que la personne n'est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate.
Cela revient à calculer la probabilité complémentaire de l'union des deux événements (homme aux yeux bleus ou cravate). La probabilité complémentaire est donnée par :

\[
P(\text{ni homme aux yeux bleus, ni cravate}) = 1 - P(\text{homme aux yeux bleus ou cravate})
\]

\[
P(\text{ni homme aux yeux bleus, ni cravate}) = 1 - 0,62
\]

\[
P(\text{ni homme aux yeux bleus, ni cravate}) = 0,38
\]

### Résumé des résultats :
1. La probabilité que ce soit un homme portant la cravate : \( 0,48 \).
2. La probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate : \( 0,2 \).
3. La probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate : \( 0,62 \).
4. La probabilité que ce soit une personne qui n'est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate : \( 0,38 \).

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? 

Voici 5 questions relatives pour approfondir :
1. Comment calculer la probabilité d'un événement complémentaire ?
2. Quelle est la différence entre une probabilité d'intersection et une probabilité d'union ?
3. Comment changerait la probabilité si le nombre total de personnes était différent ?
4. Comment calculer la probabilité si les événements étaient dépendants ?
5. Quelle est la probabilité qu'une personne dans cette assemblée n'ait ni les yeux bleus ni porte une cravate ?

**Astuce** : Lorsque vous calculez des probabilités d'union ou d'intersection, assurez-vous de ne pas compter deux fois les éléments communs aux deux événements.

Dans une assemblée de 250 personnes, on note qu’il y a : • 120 hommes portent la cravate. • 85 hommes ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée. 1. Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate. 2. Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate. 3. Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate ? 4. Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate ?

Découvrez comment résoudre un problème de probabilité en calculant les chances qu'une personne dans une assemblée de 250 individus soit un homme portant une cravate, un homme aux yeux bleus ou ni l'un ni l'autre. Ce problème inclut des concepts clés de la probabilité et de la théorie des ensembles.

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