À un concert, une foule de plusieurs personnes est constituée à 
5
12
 d'adultes et à 
7
12
 d'enfants. Après l'arrivée d'un bus de 50 personnes, les adultes forment 
11
25
 de la foule. Quel est le nombre minimal d'adultes après l'arrivée du bus ?

Nous savons que, dans la foule initiale, la proportion d'adultes est de \( \frac{5}{12} \) et la proportion d'enfants est de \( \frac{7}{12} \). Après l'arrivée du bus de 50 personnes, les adultes forment \( \frac{11}{25} \) de la foule totale. L'objectif est de déterminer le nombre minimal d'adultes après l'arrivée du bus.

### Étape 1 : Définissons les inconnues
Soit \( N \) le nombre total de personnes avant l'arrivée du bus. Le nombre d'adultes dans cette foule est alors :
\[
A_0 = \frac{5}{12}N
\]
Et le nombre d'enfants est :
\[
E_0 = \frac{7}{12}N
\]
Après l'arrivée du bus, la foule contient \( N + 50 \) personnes. Le nombre d'adultes après l'arrivée du bus est \( A_1 \), et d'après l'énoncé, nous savons que :
\[
A_1 = \frac{11}{25}(N + 50)
\]
Il nous faut exprimer \( A_1 \) en fonction de \( N \).

### Étape 2 : Ajouter les personnes du bus
Le bus contient des adultes et des enfants. Nous ne savons pas combien d'adultes et d'enfants arrivent, mais nous pouvons écrire que le nombre d'adultes après l'arrivée du bus est égal au nombre d'adultes initiaux plus un certain nombre \( x \) d'adultes du bus. Donc :
\[
A_1 = A_0 + x
\]
En remplaçant \( A_0 \) par sa valeur :
\[
A_1 = \frac{5}{12}N + x
\]
Nous avons aussi l'expression suivante d'après les données :
\[
A_1 = \frac{11}{25}(N + 50)
\]
En égalisant les deux expressions pour \( A_1 \), nous obtenons :
\[
\frac{5}{12}N + x = \frac{11}{25}(N + 50)
\]

### Étape 3 : Résolution de l'équation
Résolvons cette équation pour trouver \( N \) :

Premièrement, simplifions le côté droit :
\[
\frac{11}{25}(N + 50) = \frac{11}{25}N + \frac{550}{25} = \frac{11}{25}N + 22
\]
Nous avons donc l'équation suivante :
\[
\frac{5}{12}N + x = \frac{11}{25}N + 22
\]
Ensuite, isolons \( x \) :
\[
x = \frac{11}{25}N + 22 - \frac{5}{12}N
\]
Pour résoudre cela, nous devons mettre les fractions sur un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 25 et 12 est 300. Multiplions chaque fraction par ce dénominateur commun :
\[
x = \frac{132}{300}N + 22 - \frac{125}{300}N
\]
Simplifions :
\[
x = \frac{132 - 125}{300}N + 22 = \frac{7}{300}N + 22
\]

### Étape 4 : Conclusion
Le nombre \( x \), qui représente le nombre d'adultes arrivés par le bus, est donné par l'expression :
\[
x = \frac{7}{300}N + 22
\]
Pour que \( x \) soit un entier, \( N \) doit être un multiple de 300. Le plus petit multiple de 300 est donc \( N = 300 \).

Si \( N = 300 \), alors :
\[
A_1 = \frac{11}{25}(300 + 50) = \frac{11}{25} \times 350 = 154
\]
Donc, le nombre minimal d'adultes après l'arrivée du bus est **154 adultes**.

---

Avez-vous des questions ou besoin de plus de détails ?

Voici 5 questions pour approfondir :
1. Comment calculer la proportion d'une foule avant et après un changement ?
2. Quelle est l'importance de trouver des multiples communs en mathématiques ?
3. Pourquoi les expressions rationnelles nécessitent-elles des dénominateurs communs ?
4. Comment résoudre une équation comportant plusieurs fractions ?
5. Comment modéliser un problème de foule avec des proportions ?

**Astuce** : Toujours vérifier vos unités et vos proportions lorsque vous travaillez avec des problèmes de mélange ou de foule.

À un concert, une foule de plusieurs personnes est constituée à 5/12 d'adultes et à 7/12 d'enfants. Après l'arrivée d'un bus de 50 personnes, les adultes forment 11/25 de la foule. Quel est le nombre minimal d'adultes après l'arrivée du bus ?

Résolvez un problème de proportion où une foule est initialement composée de 5/12 d'adultes et 7/12 d'enfants. Après l'arrivée d'un bus, les adultes forment 11/25 de la foule. Découvrez le nombre minimal d'adultes après l'arrivée du bus à l'aide d'équations algébriques. Convient aux élèves de 9e à 11e année.

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