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Por favor crea 8 ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas, con su estructura similar a la que se muestra en la imagen; las partes más importantes que debe contener son: el cálculo del vértice "x", el calculo del vertice "y", el cálculo de los interceptos en el eje "x" con el uso de la fórmula general, y al menos cinco puntos P(x;y), en los que se incluyan los puntos calculados

Voy a crear 8 ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas con una estructura similar a la que se muestra en la imagen que subiste. Cada ejercicio incluirá:

1. La ecuación cuadrática.
2. El cálculo del vértice \( x \) utilizando la fórmula \( x = \frac{-b}{2a} \).
3. El cálculo del vértice \( y \) sustituyendo \( x \) en la ecuación original.
4. El cálculo de los interceptos en el eje \( x \) utilizando la fórmula general \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
5. Cinco puntos \( P(x;y) \) que incluyan los interceptos y el vértice.

### Ejercicio 1:
\[ y = 2x^2 - 8x + 6 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-(-8)}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \)  
  Vértice: \( (2, -2) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(2)(6)}}{2(2)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 3 \) y \( x_2 = 1 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, 6), \\
  &P_2(1, 0), \\
  &P_3(2, -2), \text{ (vértice)}, \\
  &P_4(3, 0), \\
  &P_5(4, 6)
  \end{aligned}
  \]

---

### Ejercicio 2:
\[ y = -x^2 + 4x - 3 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-4}{2(-1)} = 2 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \)  
  Vértice: \( (2, 1) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 1 \) y \( x_2 = 3 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, -3), \\
  &P_2(1, 0), \\
  &P_3(2, 1), \text{ (vértice)}, \\
  &P_4(3, 0), \\
  &P_5(4, -3)
  \end{aligned}
  \]

---

### Ejercicio 3:
\[ y = 3x^2 - 12x + 9 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-(-12)}{2(3)} = 2 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \)  
  Vértice: \( (2, -3) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} = \frac{12 \pm 6}{6} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 3 \) y \( x_2 = 1 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, 9), \\
  &P_2(1, 0), \\
  &P_3(2, -3), \text{ (vértice)}, \\
  &P_4(3, 0), \\
  &P_5(4, 9)
  \end{aligned}
  \]

---

### Ejercicio 4:
\[ y = -2x^2 + 8x - 5 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-8}{2(-2)} = 2 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3 \)  
  Vértice: \( (2, 3) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 40}}{-4} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{-4} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 0.27 \) y \( x_2 = 3.73 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, -5), \\
  &P_2(0.27, 0), \\
  &P_3(2, 3), \text{ (vértice)}, \\
  &P_4(3.73, 0), \\
  &P_5(4, -5)
  \end{aligned}
  \]

---

### Ejercicio 5:
\[ y = x^2 - 6x + 8 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \)  
  Vértice: \( (3, -1) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 4 \) y \( x_2 = 2 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, 8), \\
  &P_2(2, 0), \\
  &P_3(3, -1), \text{ (vértice)}, \\
  &P_4(4, 0), \\
  &P_5(5, 4)
  \end{aligned}
  \]

---

### Ejercicio 6:
\[ y = 4x^2 - 16x + 15 \]

- **Cálculo del vértice \( x \):**  
  \( x = \frac{-(-16)}{2(4)} = 2 \)

- **Cálculo del vértice \( y \):**  
  \( y = 4(2)^2 - 16(2) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 \)  
  Vértice: \( (2, -1) \)

- **Cálculo de los interceptos en el eje \( x \) (fórmula general):**  
  \( x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{8} \)  
  Soluciones: \( x_1 = 2.5 \) y \( x_2 = 1.5 \)

- **Cinco puntos \( P(x;y) \):**  
  \[
  \begin{aligned}
  &P_1(0, 15), \\
  &P_2(1.5, 0), \\
  &P_3(2, -1), \text{ (vért

Generate 8 exercises on quadratic equations with detailed solutions for vertex calculation, x-intercepts using the general formula, and five specific points P(x;y) including calculated points. Improve your algebra skills with these structured quadratic equation problems.

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