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mostrar el proceso inecuaciones cuadráticas con el método de puntos críticos

Para resolver inecuaciones cuadráticas mediante el **método de puntos críticos**, es importante seguir un procedimiento ordenado. A continuación, te mostraré cómo se resuelven las inecuaciones de la imagen siguiendo este método.

### Pregunta 5:  
Inecuación: \(\frac{x^2 + x - 6}{x + 2} > 0\)

**Paso 1: Encontrar los puntos críticos**  
Primero, identificamos los valores que hacen el numerador y el denominador iguales a cero.

- Numerador: \(x^2 + x - 6 = 0\)  
  Factorizamos:  
  \[
  (x - 2)(x + 3) = 0
  \]  
  Entonces, los puntos críticos del numerador son \(x = 2\) y \(x = -3\).

- Denominador: \(x + 2 = 0\)  
  El punto crítico del denominador es \(x = -2\), pero este punto es una **asíntota vertical** (no pertenece a la solución).

**Paso 2: Crear la línea numérica con los puntos críticos**  
Los puntos críticos dividen la línea numérica en intervalos. Los intervalos son:  
\((-∞, -3)\), \((-3, -2)\), \((-2, 2)\), y \((2, ∞)\).

**Paso 3: Evaluar el signo de la expresión en cada intervalo**  
Elegimos un valor de prueba en cada intervalo y determinamos el signo del numerador y denominador:

- Para \(x < -3\) (ej. \(x = -4\)): \(\frac{(+)(-)}{(-)} = +\)
- Para \(-3 < x < -2\) (ej. \(x = -2.5\)): \(\frac{(-)(-)}{(-)} = -\)
- Para \(-2 < x < 2\) (ej. \(x = 0\)): \(\frac{(-)(+)}{(+)} = -\)
- Para \(x > 2\) (ej. \(x = 3\)): \(\frac{(+)(+)}{(+)} = +\)

**Paso 4: Identificar los intervalos donde la inecuación es verdadera**  
Queremos que la expresión sea mayor que cero (\(> 0\)), por lo tanto, seleccionamos los intervalos donde es positiva:

\[
x \in (-∞, -3) \cup (2, ∞)
\]

**Paso 5: Considerar los puntos críticos y su efecto**  
- \(x = -3\) y \(x = 2\) no se incluyen en la solución, ya que hacen que el numerador sea cero, y buscamos \(> 0\).
- \(x = -2\) no se incluye porque el denominador es cero, lo que hace que la expresión sea indefinida.

**Respuesta**: \(x < -3 \, \text{o} \, x > 2\), tal como se muestra en la opción **A**.

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### Pregunta 6:  
Inecuación: \(\frac{2x + 3}{x^2 - 1} \leq 0\)

**Paso 1: Encontrar los puntos críticos**  
Factorizamos el denominador y buscamos dónde el numerador es cero:

- Numerador: \(2x + 3 = 0\)  
  \[
  x = -\frac{3}{2}
  \]

- Denominador: \(x^2 - 1 = 0\)  
  \[
  (x - 1)(x + 1) = 0
  \]
  Los puntos críticos son \(x = 1\) y \(x = -1\) (asíntotas verticales).

**Paso 2: Crear la línea numérica con los puntos críticos**  
Los puntos críticos dividen la línea en los intervalos:  
\((-∞, -\frac{3}{2})\), \((- \frac{3}{2}, -1)\), \((-1, 1)\), y \((1, ∞)\).

**Paso 3: Evaluar el signo de la expresión en cada intervalo**  
Elegimos valores de prueba:

- Para \(x < -\frac{3}{2}\) (ej. \(x = -2\)): \(\frac{(-)}{(+)} = -\)
- Para \(-\frac{3}{2} < x < -1\) (ej. \(x = -1.5\)): \(\frac{(+)}{(+)} = +\)
- Para \(-1 < x < 1\) (ej. \(x = 0\)): \(\frac{(+)}{(-)} = -\)
- Para \(x > 1\) (ej. \(x = 2\)): \(\frac{(+)}{(+)} = +\)

**Paso 4: Identificar los intervalos donde la inecuación es verdadera**  
Buscamos donde la expresión es menor o igual a cero (\(\leq 0\)):

\[
x \in (-∞, -\frac{3}{2}] \cup (-1, 1]
\]

**Paso 5: Considerar los puntos críticos**  
- \(x = -\frac{3}{2}\) se incluye porque hace que el numerador sea cero.
- \(x = -1\) y \(x = 1\) no se incluyen porque hacen que el denominador sea cero, y la función no está definida.

**Respuesta**: \(-\frac{3}{2} \leq x \leq -1 \, \cup \, -1 < x \leq 1\), que corresponde a la opción **C**.

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### ¿Deseas más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta el signo de las expresiones evaluadas en cada intervalo?
2. ¿Por qué es importante considerar las asíntotas verticales al resolver inecuaciones?
3. ¿Cómo se afectan los puntos críticos en el numerador versus el denominador?
4. ¿Cuál es la diferencia entre inecuaciones estrictas (\(<\) y \(>\)) y no estrictas (\(\leq\) y \(\geq\)) en este contexto?
5. ¿Cómo se puede verificar la solución obtenida gráficamente?

**Tip**: Al resolver inecuaciones, siempre verifica tus intervalos con valores de prueba para asegurarte de que interpretas correctamente la dirección de la desigualdad.

Learn how to solve quadratic inequalities using the critical points method. Detailed step-by-step solution for inequalities involving quadratic expressions and critical points analysis. Suitable for advanced high school students.

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