Demuestre que (a^2 + b^2 ) (a + b) (a – b) = a^4 – [ 3a + 2( a + 2 ) – 4 (a + 1) –a + b^4 ]

Vamos a demostrar que:

\[
(a^2 + b^2)(a + b)(a - b) = a^4 - \left[3a + 2(a + 2) - 4(a + 1) - a + b^4\right]
\]

### Paso 1: Expandir el lado izquierdo

Primero expandimos el lado izquierdo de la ecuación:

\[
(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)
\]

Observamos que \((a + b)(a - b)\) es una identidad conocida como **diferencia de cuadrados**:

\[
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
\]

Ahora sustituimos esto en la ecuación:

\[
(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)
\]

Luego expandimos:

\[
= a^2(a^2 - b^2) + b^2(a^2 - b^2)
\]

Distribuyendo cada término:

\[
= a^2a^2 - a^2b^2 + b^2a^2 - b^2b^2
\]

\[
= a^4 - a^2b^2 + a^2b^2 - b^4
\]

Los términos \(-a^2b^2\) y \(a^2b^2\) se cancelan, por lo tanto:

\[
a^4 - b^4
\]

### Paso 2: Simplificar el lado derecho

Ahora simplifiquemos el lado derecho:

\[
a^4 - \left[3a + 2(a + 2) - 4(a + 1) - a + b^4\right]
\]

Primero, expandamos y simplifiquemos los términos dentro de los corchetes:

\[
3a + 2(a + 2) = 3a + 2a + 4 = 5a + 4
\]

\[
-4(a + 1) = -4a - 4
\]

Ahora sustituimos estos en la expresión completa:

\[
a^4 - \left[5a + 4 - 4a - 4 - a + b^4\right]
\]

Simplificamos dentro de los corchetes:

\[
= a^4 - \left[5a - 4a - a + 4 - 4 + b^4\right]
\]

\[
= a^4 - \left[0a + b^4\right]
\]

\[
= a^4 - b^4
\]

### Paso 3: Conclusión

Hemos demostrado que ambos lados de la ecuación son iguales:

\[
(a^2 + b^2)(a + b)(a - b) = a^4 - b^4
\]

Por lo tanto, la identidad es **correcta**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede aplicar la propiedad de la diferencia de cuadrados en otras ecuaciones?
2. ¿Qué otros métodos de factorización existen para expresiones cuadráticas?
3. ¿Cómo afecta el signo de los términos en una expansión algebraica?
4. ¿Cómo puedes verificar si una ecuación algebraica es una identidad?
5. ¿Qué importancia tiene la cancelación de términos en la simplificación algebraica?

**Tip:** Siempre que tengas productos de términos como \((a+b)(a-b)\), verifica si puedes usar identidades notables como la diferencia de cuadrados para simplificar.

This guide demonstrates the polynomial identity (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) = a^4 - [3a + 2(a + 2) - 4(a + 1) - a + b^4] using the difference of squares identity and algebraic simplification. Suitable for students in Grades 9-12.

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