Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la parábola 
y = 
1/2
x2
 en los puntos 
(0, 0) y 

−1, 1/2

.


Para determinar las ecuaciones de los **círculos osculadores** de la parábola \( y = \frac{1}{2}x^2 \) en los puntos \( (0, 0) \) y \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Cálculo de la curvatura de la parábola

La ecuación de la curvatura \(\kappa(x)\) para una función \( y = f(x) \) está dada por:

\[
\kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{\left( 1 + (y'(x))^2 \right)^{3/2}}
\]

Donde \( y'(x) \) es la derivada de la función, y \( y''(x) \) es la segunda derivada.

### 2. Derivadas de la parábola

Dado que \( y = \frac{1}{2}x^2 \), sus derivadas son:

- Primera derivada: \( y'(x) = x \)
- Segunda derivada: \( y''(x) = 1 \)

### 3. Cálculo de la curvatura en los puntos

#### En el punto \( (0, 0) \):

\[
\kappa(0) = \frac{|1|}{\left( 1 + (0)^2 \right)^{3/2}} = 1
\]

#### En el punto \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \):

\[
\kappa(-1) = \frac{|1|}{\left( 1 + (-1)^2 \right)^{3/2}} = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}
\]

### 4. Radio de los círculos osculadores

El radio de un círculo osculador \( R \) es el inverso de la curvatura:

- En \( (0, 0) \), \( R = \frac{1}{\kappa(0)} = 1 \).
- En \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \), \( R = \frac{1}{\kappa(-1)} = 2\sqrt{2} \).

### 5. Centro de los círculos osculadores

El centro de un círculo osculador está en la dirección normal a la curva en el punto considerado, a una distancia \( R \) del punto.

- La **normal** a la curva en \( x_0 \) es perpendicular a la tangente. La pendiente de la tangente es \( y'(x_0) \), y la pendiente de la normal es \( -\frac{1}{y'(x_0)} \).

#### En el punto \( (0, 0) \):

- La pendiente de la tangente es \( y'(0) = 0 \), por lo que la pendiente de la normal es infinita (es una línea vertical).
- El centro del círculo está a una distancia 1 del origen en el eje \( y \), es decir, en \( (0, -1) \).

#### En el punto \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \):

- La pendiente de la tangente es \( y'(-1) = -1 \), por lo que la pendiente de la normal es \( 1 \).
- El centro del círculo está a una distancia \( 2\sqrt{2} \) en la dirección normal a la curva, que forma un ángulo de \( 45^\circ \) con el eje \( x \) negativo.
- El centro del círculo se encuentra en \( \left( -1 - \sqrt{2}, \frac{1}{2} + \sqrt{2} \right) \).

### 6. Ecuaciones de los círculos osculadores

Las ecuaciones de los círculos osculadores son:

1. **En el punto \( (0, 0) \)**:
   \[
   (x - 0)^2 + (y + 1)^2 = 1^2
   \]
   Simplificando:
   \[
   x^2 + (y + 1)^2 = 1
   \]

2. **En el punto \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \)**:
   \[
   (x + 1 + \sqrt{2})^2 + \left( y - \frac{1}{2} - \sqrt{2} \right)^2 = (2\sqrt{2})^2
   \]
   Simplificando:
   \[
   (x + 1 + \sqrt{2})^2 + \left( y - \frac{1}{2} - \sqrt{2} \right)^2 = 8
   \]

### Resultado Final

Las ecuaciones de los círculos osculadores son:

1. \( x^2 + (y + 1)^2 = 1 \) en \( (0, 0) \).
2. \( (x + 1 + \sqrt{2})^2 + \left( y - \frac{1}{2} - \sqrt{2} \right)^2 = 8 \) en \( \left( -1, \frac{1}{2} \right) \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relacionan la curvatura y los radios de los círculos osculadores en otras curvas?
2. ¿Qué otros puntos en la parábola tienen círculos osculadores interesantes?
3. ¿Cómo afecta la pendiente de la tangente en el cálculo de los centros de los círculos osculadores?
4. ¿Podrías aplicar este procedimiento a una elipse?
5. ¿Qué diferencia hay entre la curvatura de una parábola y la de una circunferencia?

**Tip:** La curvatura de una curva es inversamente proporcional al radio del círculo osculador, lo que significa que cuando la curvatura es mayor, el círculo osculador es más pequeño.

Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la parábola y = 1/2x^2 en los puntos (0, 0) y (-1, 1/2).

Explore how to calculate the osculating circles of the parabola y = 1/2x^2 at points (0, 0) and (-1, 1/2). This problem involves curvature, derivatives, and the geometry of circles. Suitable for advanced high school students and undergraduate math learners.

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