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Para resolver los problemas planteados, debemos analizar la función de temperatura \( T(x, y, z) = e^{-x^2 - 2y^2 - 3z^2} \) y utilizar el gradiente para determinar las direcciones de máximo y mínimo cambio de temperatura, así como calcular las temperaturas en los puntos dados.

### **Parte (a):** 
**Dirección en la que debe moverse para enfriarse lo más rápido posible en el punto (1, 1, 1):**

Para encontrar la dirección de máximo descenso de temperatura, calculamos el gradiente de \( T(x, y, z) \) y tomamos la dirección opuesta.

1. **Gradiente de \( T(x, y, z) \):**
   \[
   \nabla T(x, y, z) = \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}\right)
   \]
   \[
   \frac{\partial T}{\partial x} = -2x e^{-x^2 - 2y^2 - 3z^2}, \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -4y e^{-x^2 - 2y^2 - 3z^2}, \quad \frac{\partial T}{\partial z} = -6z e^{-x^2 - 2y^2 - 3z^2}
   \]
   Evaluamos en el punto \( (1, 1, 1) \):
   \[
   \nabla T(1, 1, 1) = \left(-2e^{-1^2 - 2 \times 1^2 - 3 \times 1^2}, -4e^{-1^2 - 2 \times 1^2 - 3 \times 1^2}, -6e^{-1^2 - 2 \times 1^2 - 3 \times 1^2}\right)
   \]
   Simplificando:
   \[
   \nabla T(1, 1, 1) = \left(-2e^{-6}, -4e^{-6}, -6e^{-6}\right)
   \]
   
   La dirección en la que debe moverse para enfriarse lo más rápido posible es la dirección opuesta al gradiente:
   \[
   \text{Dirección: } (2e^{-6}, 4e^{-6}, 6e^{-6})
   \]
   Simplificando, es equivalente a la dirección del vector \( (1, 2, 3) \).

### **Parte (b):** 
**Máxima temperatura que soporta el astronauta en el punto (1, 2, 1):**

Para encontrar la temperatura en un punto específico, simplemente sustituimos las coordenadas en la función de temperatura.

1. Evaluamos \( T(1, 2, 1) \):
   \[
   T(1, 2, 1) = e^{-1^2 - 2(2^2) - 3(1^2)} = e^{-1 - 8 - 3} = e^{-12}
   \]

   La máxima temperatura que soporta el astronauta en \( (1, 2, 1) \) es \( T = e^{-12} \).

### **Parte (c):** 
**Mínima temperatura que soporta el astronauta en el punto (-2, -2, 1):**

De nuevo, evaluamos la función en el punto dado.

1. Evaluamos \( T(-2, -2, 1) \):
   \[
   T(-2, -2, 1) = e^{-(-2)^2 - 2(-2)^2 - 3(1)^2} = e^{-4 - 8 - 3} = e^{-15}
   \]

   La mínima temperatura que soporta el astronauta en \( (-2, -2, 1) \) es \( T = e^{-15} \).

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo interpretar físicamente el gradiente de una función?
2. ¿Qué significa moverse en la dirección opuesta al gradiente?
3. ¿Cómo afecta la forma de la función de temperatura a la distribución del calor?
4. ¿Qué ocurre si el gradiente es cero en un punto?
5. ¿Cómo se puede aproximar \( e^{-12} \) para tener una idea de la temperatura en términos numéricos?

**Consejo:** La dirección del gradiente siempre señala hacia el máximo incremento de una función; moverse en la dirección opuesta maximiza el decremento (enfriamiento en este caso).

Explore how to optimize temperature change directions using gradients with a detailed step-by-step solution. This problem involves analyzing a temperature function and calculating directional derivatives to find optimal cooling directions. Suitable for advanced high school students and college-level learners.

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