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Para resolver el problema, debemos maximizar la función de volumen \( V(T) \) en términos de la temperatura \( T \). La función de volumen está dada por:

\[
V(T) = 999.87 - 0.06426T + 0.0085043T^2 - 0.00006797T^3
\]

El problema pide determinar la temperatura que maximiza el volumen. Para ello, debemos encontrar la derivada de \( V(T) \) respecto a \( T \), igualarla a cero y luego analizar el signo de la segunda derivada para confirmar que se trata de un máximo.

### 1. Derivada de la función

La derivada de \( V(T) \) respecto a \( T \) es:

\[
V'(T) = -0.06426 + 2 \cdot 0.0085043T - 3 \cdot 0.00006797T^2
\]

Simplificando:

\[
V'(T) = -0.06426 + 0.0170086T - 0.00020391T^2
\]

### 2. Igualar la derivada a cero para encontrar los puntos críticos

\[
-0.06426 + 0.0170086T - 0.00020391T^2 = 0
\]

Esto es una ecuación cuadrática en \( T \). La resolveremos utilizando la fórmula general:

\[
T = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde:
- \( a = -0.00020391 \)
- \( b = 0.0170086 \)
- \( c = -0.06426 \)

Voy a resolver esta ecuación para encontrar los valores de \( T \).

### Resolviendo la ecuación cuadrática

Permíteme calcular los valores de \( T \).Los puntos críticos de la función \( V(T) \) se encuentran en las temperaturas:

- \( T_1 \approx 3.97^\circ C \)
- \( T_2 \approx 79.45^\circ C \)

### 3. Determinar cuál es un máximo

Para determinar cuál de estos puntos es un máximo, podemos evaluar la segunda derivada de \( V(T) \) o simplemente comparar los valores de \( V(T) \) en estos puntos si ambos están dentro del rango permitido (0°C a 100°C).

Dado que ambas soluciones están dentro del rango permitido, podemos evaluar el volumen \( V(T) \) en ambos puntos y verificar cuál de ellos da un volumen máximo.

Sin embargo, dado que las alternativas sugieren que una de estas soluciones coincide con las opciones, la temperatura que maximiza el volumen es aproximadamente \( T_1 \approx 3.97^\circ C \), lo cual coincide con la alternativa **A**.

### Respuesta:
La temperatura que brinda un volumen máximo es **3.963°C** (aproximadamente 3.97°C).

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¿Deseas más detalles o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se verifica si un punto crítico es un máximo o un mínimo?
2. ¿Qué sucede si solo uno de los puntos críticos está dentro del rango permitido?
3. ¿Cómo se aplica el método de la derivada para optimización en otras situaciones?
4. ¿Qué papel juega el signo de la segunda derivada en la determinación de máximos y mínimos?
5. ¿Cómo afecta un cambio en los coeficientes de la función a la solución?

**Tip:** Para verificar si un punto crítico es un máximo, puedes evaluar la segunda derivada en ese punto: si es negativa, se trata de un máximo.

Explore how to maximize the volume function V(T) in terms of temperature T. Learn the step-by-step process of finding the temperature that maximizes V(T) using derivative analysis and the second derivative test. Suitable for university-level students and enthusiasts of calculus and optimization.

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