Una empresa vende 0.7 toneladas de jugo de naranja y tiene 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima. El costo de la materia prima es de 0.8 USD/kg, los precios de venta del jugo y del sobrante son 2.5 USD/kg y 0.05 USD/kg, respectivamente, y el costo de producción viene dado por la función :
	C(x)= 0.05x3
donde x representa las toneladas de jugo de naranja producido. Obtener: 
A. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima. 
B. La cantidad de jugo de naranja que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas.


Para resolver este problema, primero analizamos los datos proporcionados y luego desarrollamos la solución paso a paso.

### Datos proporcionados:

- Por cada tonelada de materia prima, se producen:
  - \( 0.7 \) toneladas de jugo de naranja.
  - \( 0.3 \) toneladas de sobrante.
  
- **Costos y precios**:
  - Costo de la materia prima: \( 0.8 \, \text{USD/kg} \).
  - Precio de venta del jugo: \( 2.5 \, \text{USD/kg} \).
  - Precio de venta del sobrante: \( 0.05 \, \text{USD/kg} \).
  
- Función de costo de producción: \( C(x) = 0.05x^3 \), donde \( x \) es la cantidad de jugo de naranja producido en toneladas.

### A. Expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima

Sea \( m \) la cantidad de toneladas de materia prima utilizada.

#### 1. Cantidades producidas:
- La cantidad de jugo de naranja producido es \( x = 0.7m \) toneladas.
- La cantidad de sobrante es \( 0.3m \) toneladas.

#### 2. Ingresos:
Los ingresos totales \( I(m) \) son la suma de los ingresos por la venta del jugo de naranja y por la venta del sobrante:

\[
I(m) = \text{Ingresos por jugo} + \text{Ingresos por sobrante}
\]
\[
I(m) = (0.7m \cdot 2500 \, \text{USD/ton}) + (0.3m \cdot 50 \, \text{USD/ton})
\]
\[
I(m) = 1750m + 15m = 1765m \, \text{USD}
\]

#### 3. Costos:
Los costos totales \( C(m) \) incluyen el costo de la materia prima y el costo de producción.

- El costo de la materia prima es \( 0.8 \, \text{USD/kg} \), lo que equivale a \( 800 \, \text{USD/ton} \):
  \[
  \text{Costo de materia prima} = 800m \, \text{USD}
  \]
  
- El costo de producción viene dado por la función \( C(x) = 0.05x^3 \), con \( x = 0.7m \):
  \[
  \text{Costo de producción} = 0.05(0.7m)^3 = 0.05(0.343)m^3 = 0.01715m^3
  \]

Entonces, los costos totales son:
\[
C(m) = 800m + 0.01715m^3 \, \text{USD}
\]

#### 4. Ganancia neta:
La ganancia neta \( G(m) \) se obtiene como la diferencia entre los ingresos y los costos:

\[
G(m) = I(m) - C(m)
\]
\[
G(m) = 1765m - (800m + 0.01715m^3)
\]
\[
G(m) = 1765m - 800m - 0.01715m^3
\]
\[
G(m) = 965m - 0.01715m^3
\]

Esta es la expresión para la **ganancia neta** en función de las toneladas de materia prima \( m \):

\[
G(m) = 965m - 0.01715m^3
\]

### B. Cantidad de jugo que maximiza las ganancias netas

Para maximizar las ganancias netas, debemos encontrar el valor de \( m \) que maximiza \( G(m) \). Esto se hace derivando la función de ganancias y encontrando el valor crítico.

#### Derivada de la ganancia neta:
La función de ganancias es:
\[
G(m) = 965m - 0.01715m^3
\]
Derivamos \( G(m) \) respecto a \( m \):
\[
G'(m) = 965 - 3(0.01715)m^2
\]
\[
G'(m) = 965 - 0.05145m^2
\]

Para maximizar la ganancia, igualamos la derivada a cero:
\[
965 - 0.05145m^2 = 0
\]
\[
0.05145m^2 = 965
\]
\[
m^2 = \frac{965}{0.05145} = 18756.56
\]
\[
m = \sqrt{18756.56} \approx 136.94 \, \text{toneladas de materia prima}
\]

Ahora, para encontrar la cantidad de jugo, usamos \( x = 0.7m \):

\[
x = 0.7(136.94) \approx 95.86 \, \text{toneladas de jugo}
\]

### Respuesta final:

**A.** La expresión para la ganancia neta es:
\[
G(m) = 965m - 0.01715m^3
\]

**B.** La cantidad óptima de jugo de naranja que se debe fabricar para maximizar las ganancias es aproximadamente **95.86 toneladas** de jugo.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular?

#### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría un cambio en el precio de venta del jugo a las ganancias netas?
2. ¿Cómo influiría un aumento en el costo de la materia prima en la cantidad óptima de jugo a producir?
3. ¿Qué sucede si se reduce la cantidad de sobrante por tonelada de materia prima?
4. ¿Cómo se verían las ganancias si el costo de producción aumentara de forma no cúbica, por ejemplo, linealmente?
5. ¿Qué impacto tiene en las ganancias si el precio de venta del sobrante aumenta?

#### Tip:
Recuerda que maximizar ganancias implica siempre analizar el comportamiento de costos marginales y los ingresos marginales para optimizar la producción.

Una empresa vende 0.7 toneladas de jugo de naranja y tiene 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima. El costo de la materia prima es de 0.8 USD/kg, los precios de venta del jugo y del sobrante son 2.5 USD/kg y 0.05 USD/kg, respectivamente, y el costo de producción viene dado por la función: C(x) = 0.05x^3 donde x representa las toneladas de jugo de naranja producido. Obtener: A. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima. B. La cantidad de jugo de naranja que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas.

Solve an orange juice production problem where a company optimizes its profit by considering both revenue from juice and byproducts. Explore how to derive net profit, using calculus for cost functions, and find the optimal production level for maximum profit.

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