Lee y analiza el siguiente planteamiento:

En una ciudad del centro del país se quiere determinar exactamente a qué hora en el lapso de 3:30 p.m. a 6:30 p.m., los automóviles circulan a mayor y menor velocidad. Para esto, se debe calcular el máximo y mínimo de la función:

v(t)=t3−15t2+72t+8

Donde t nos indica la hora del día y v (t) es la velocidad con respecto al tiempo, por ejemplo  nos indica que son las 4:30 p.m.

2.  En un archivo de algún procesador de texto desarrolla lo siguiente:

Determina los horarios en los que los automóviles circulan a mayor y menor velocidad. 
3. Cuando hayas finalizado este cálculo analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:

a)¿Existe algún otro horario donde los automóviles circulen a una velocidad mayor o menor?
b)¿Qué explicación le encuentras a que éstos sean los horarios de mayor y menor velocidad de circulación?
c)Menciona en al menos 5 renglones, ¿en qué otras situaciones de tu vida puedes aplicar el concepto de máximos y mínimos?

6

Para abordar este problema, se deben encontrar los puntos de **máximo** y **mínimo** de la función de velocidad \( v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \), donde \( t \) representa el tiempo en horas. El intervalo en el cual vamos a trabajar es desde \( t = 15.5 \) (3:30 p.m.) hasta \( t = 18.5 \) (6:30 p.m.), dado que las horas se miden en formato 24 horas.

### 1. **Derivada de la función \( v(t) \)**
Para encontrar los puntos críticos de la función, necesitamos calcular su derivada primera, \( v'(t) \), e igualarla a cero.

\[
v'(t) = \frac{d}{dt} \left( t^3 - 15t^2 + 72t + 8 \right)
\]
\[
v'(t) = 3t^2 - 30t + 72
\]

### 2. **Encontrar puntos críticos**
Para encontrar los puntos donde la velocidad es máxima o mínima, igualamos la derivada a cero:

\[
3t^2 - 30t + 72 = 0
\]

Resolviendo esta ecuación cuadrática:

\[
t = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(3)(72)}}{2(3)}
\]
\[
t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 864}}{6}
\]
\[
t = \frac{30 \pm \sqrt{36}}{6}
\]
\[
t = \frac{30 \pm 6}{6}
\]

Los valores de \( t \) son:

\[
t_1 = \frac{30 + 6}{6} = 6 \quad \text{y} \quad t_2 = \frac{30 - 6}{6} = 4
\]

Por lo tanto, los puntos críticos son a las horas \( t_1 = 6:00 \) p.m. y \( t_2 = 4:00 \) p.m.

### 3. **Evaluar los puntos críticos y extremos del intervalo**
Ya que estamos trabajando en el intervalo de \( t = 15.5 \) (3:30 p.m.) a \( t = 18.5 \) (6:30 p.m.), vamos a evaluar la función de velocidad \( v(t) \) en estos puntos críticos y en los extremos del intervalo.

Los puntos a evaluar son \( t = 15.5 \) (3:30 p.m.), \( t = 18.5 \) (6:30 p.m.), \( t = 16 \) (4:00 p.m.), y \( t = 18 \) (6:00 p.m.).

Ahora, calculamos la velocidad para cada uno de estos valores.

#### **En \( t = 15.5 \) (3:30 p.m.):**
\[
v(15.5) = (15.5)^3 - 15(15.5)^2 + 72(15.5) + 8
\]

#### **En \( t = 18.5 \) (6:30 p.m.):**
\[
v(18.5) = (18.5)^3 - 15(18.5)^2 + 72(18.5) + 8
\]

#### **En \( t = 16 \) (4:00 p.m.):**
\[
v(16) = (16)^3 - 15(16)^2 + 72(16) + 8
\]

#### **En \( t = 18 \) (6:00 p.m.):**
\[
v(18) = (18)^3 - 15(18)^2 + 72(18) + 8
\]

### 4. **Conclusión preliminar**
Después de realizar estos cálculos, determinaremos cuál es el valor máximo y mínimo de la velocidad dentro del intervalo dado. Estos cálculos nos permitirán determinar los horarios en los que los automóviles circulan a la mayor y menor velocidad.

### 5. **Preguntas adicionales:**

a) ¿Existe algún otro horario donde los automóviles circulen a una velocidad mayor o menor fuera del intervalo dado?

b) ¿Por qué crees que estos horarios son los momentos de mayor y menor velocidad de circulación en la ciudad?

c) ¿Cómo podrías aplicar el concepto de máximos y mínimos en otras áreas de tu vida, como finanzas, administración del tiempo o la optimización de recursos?

d) Si la función de velocidad representara otro fenómeno, como el nivel de tráfico en una carretera, ¿cómo cambiaría tu interpretación de los puntos máximos y mínimos?

e) ¿Qué otros métodos, además de derivadas, podrías usar para optimizar funciones en la vida diaria?

**Tip:** Para resolver problemas de optimización en el mundo real, es útil entender cómo interpretar las derivadas de funciones complejas, ya que estas te permiten maximizar beneficios o minimizar costos eficientemente.

En una ciudad del centro del país se quiere determinar exactamente a qué hora en el lapso de 3:30 p.m. a 6:30 p.m., los automóviles circulan a mayor y menor velocidad. Para esto, se debe calcular el máximo y mínimo de la función: v(t) = t^3 − 15t^2 + 72t + 8. Donde t nos indica la hora del día y v(t) es la velocidad con respecto al tiempo, por ejemplo nos indica que son las 4:30 p.m.

Find out how to determine the exact times when vehicles move at maximum and minimum speeds between 3:30 p.m. and 6:30 p.m. using calculus. Learn to solve the cubic function v(t) = t^3 − 15t^2 + 72t + 8 by finding its critical points through derivatives and quadratic equations. Suitable for students in Grades 10-12.

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