设总体“的分布律为P(X=x)=(1-p)x-1*p，x=12,3...
(0<p<1为未知参数),X1,X2,…Xn为总体X的样本,若求p的最大似然估计,则似然函数为()


给定总体的分布律为 \( P(X = x) = (1-p)^{x-1} p \) ，其中 \( x = 1, 2, 3, \dots \)，并且 \( 0 < p < 1 \) 是未知参数，我们要求 \( p \) 的最大似然估计。

### 1. 似然函数
设 \( X_1, X_2, \dots, X_n \) 为总体 \( X \) 的样本，样本独立同分布，因此样本联合分布的概率为：

\[
L(p) = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \dots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i)
\]

根据给定的分布律 \( P(X_i = x_i) = (1-p)^{x_i-1} p \)，可以写出似然函数：

\[
L(p) = \prod_{i=1}^{n} (1-p)^{x_i - 1} p
\]

进一步化简：

\[
L(p) = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)}
\]

这就是似然函数的表达式。

### 2. 对数似然函数
为了简化计算，我们通常取对数似然函数：

\[
\ell(p) = \ln L(p) = \ln \left( p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^{n}(x_i - 1)} \right)
\]

利用对数的性质，得到：

\[
\ell(p) = n \ln p + \left( \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \ln (1-p)
\]

### 3. 最大似然估计
为了找到 \( p \) 的最大似然估计，我们对 \( p \) 求导，并令其等于 0：

\[
\frac{d\ell(p)}{dp} = \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - 1)}{1-p} = 0
\]

解这个方程，可以得到 \( p \) 的最大似然估计：

\[
\hat{p} = \frac{n}{n + \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1)}
\]

即

\[
\hat{p} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}
\]

这是未知参数 \( p \) 的最大似然估计。

---

请问您对这部分内容有任何问题或需要进一步详细解释的吗？  

这里是五个相关问题以供扩展思考：

1. 如何判断似然函数是否具有唯一的极大值？
2. 在给定数据样本时，如何通过数值方法求出最大似然估计？
3. 如果分布中的 \( p \) 是已知的，如何验证似然估计的准确性？
4. 最大似然估计与矩估计有何异同？
5. 如何使用牛顿法来求解复杂似然函数的最大值？

**小提示**: 最大似然估计不仅能用于参数估计，还能够为假设检验提供基础，例如使用似然比检验进行模型选择。

设总体“的分布律为P(X=x)=(1-p)^{x-1}*p，x=1,2,3... (0<p<1为未知参数), X1, X2,...Xn为总体X的样本, 若求p的最大似然估计, 则似然函数为()

Discover how to calculate the maximum likelihood estimation (MLE) of an unknown parameter p for the distribution P(X=x) = (1-p)^{x-1} * p, where X1, X2,...Xn are samples. This guide explains step-by-step how to derive the likelihood function, its logarithm, and the MLE formula for p. Suitable for advanced college-level students studying statistics and probability.

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