estoy haciendo problemas de optimizacion, resuelve el siguiente:

3. Las ganancias diarias en miles de dólares de una empresa petrolera son

𝒇𝟏(𝒙)=𝟑𝟐𝒙−𝟐𝒙𝟐

Si 0 < X <15 y 𝒇𝟐 (𝒙)= −(𝟑𝟎−𝒙)𝟑+𝟏𝟓(𝟑𝟎−𝒙)𝟐+𝟑𝟎

Si X ≥ 15, siendo X el número de barriles de 1000L que se producen.

Calcular cuántos barriles deben producirse para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que no se pueden extraer más de 35000L diarios.

Este es un problema de optimización de una función a tramos, ya que la función de ganancias cambia dependiendo de si \( x \) está por debajo o por encima de 15, donde \( x \) es el número de barriles de 1000 litros producidos. El objetivo es encontrar cuántos barriles deben producirse para maximizar las ganancias bajo la restricción de que no se pueden extraer más de 35,000 litros, lo que corresponde a un máximo de 35 barriles (\( x \leq 35 \)).

### Definición del problema:
1. **Para \( 0 < x < 15 \):**
   \[
   f_1(x) = 32x - 2x^2
   \]
   
2. **Para \( x \geq 15 \):**
   \[
   f_2(x) = -(30 - x)^3 + 15(30 - x)^2 + 30
   \]

### Paso 1: Maximizar \( f_1(x) \) para \( 0 < x < 15 \)
La función \( f_1(x) = 32x - 2x^2 \) es una parábola. Para encontrar el máximo, derivamos \( f_1(x) \) y encontramos sus puntos críticos:

\[
f_1'(x) = 32 - 4x
\]

Igualamos a cero para encontrar el punto crítico:

\[
32 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8
\]

El valor crítico \( x = 8 \) está dentro del intervalo \( (0, 15) \). Para asegurarnos de que este valor maximiza la función, calculamos la segunda derivada:

\[
f_1''(x) = -4
\]

Dado que \( f_1''(x) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo, por lo que \( x = 8 \) es un máximo local. Ahora evaluamos \( f_1(x) \) en \( x = 8 \):

\[
f_1(8) = 32(8) - 2(8)^2 = 256 - 128 = 128 \, (\text{miles de dólares})
\]

### Paso 2: Maximizar \( f_2(x) \) para \( x \geq 15 \)
Ahora analizamos la función \( f_2(x) \). Para encontrar el máximo, derivamos \( f_2(x) \):

\[
f_2'(x) = 3(30 - x)^2 - 30(30 - x)
\]

Simplificamos la derivada:

\[
f_2'(x) = 3(30 - x)[(30 - x) - 10] = 3(30 - x)(20 - x)
\]

Igualamos la derivada a cero:

\[
3(30 - x)(20 - x) = 0
\]

Esto nos da dos soluciones: \( x = 30 \) y \( x = 20 \). Evaluamos la segunda derivada para ver si son máximos o mínimos:

\[
f_2''(x) = -6(30 - x) + 30
\]

Evaluamos la segunda derivada en \( x = 30 \):

\[
f_2''(30) = -6(30 - 30) + 30 = 30 \quad (\text{positivo, por lo tanto es un mínimo})
\]

En \( x = 20 \):

\[
f_2''(20) = -6(30 - 20) + 30 = -60 + 30 = -30 \quad (\text{negativo, por lo tanto es un máximo})
\]

Por lo tanto, \( x = 20 \) maximiza \( f_2(x) \) para \( x \geq 15 \). Evaluamos \( f_2(x) \) en \( x = 20 \):

\[
f_2(20) = -(30 - 20)^3 + 15(30 - 20)^2 + 30 = -(10)^3 + 15(10)^2 + 30 = -1000 + 1500 + 30 = 530 \, (\text{miles de dólares})
\]

### Paso 3: Evaluar en el límite \( x = 35 \)
Finalmente, evaluamos \( f_2(x) \) en \( x = 35 \), ya que este es el máximo de la restricción de 35 barriles:

\[
f_2(35) = -(30 - 35)^3 + 15(30 - 35)^2 + 30 = -(-5)^3 + 15(-5)^2 + 30 = 125 + 375 + 30 = 530 \, (\text{miles de dólares})
\]

### Conclusión:
- Para \( x < 15 \), el máximo ocurre en \( x = 8 \) con ganancias de \( 128 \) miles de dólares.
- Para \( x \geq 15 \), el máximo ocurre en \( x = 20 \) y en \( x = 35 \), ambos con ganancias de \( 530 \) miles de dólares.

Por lo tanto, para maximizar las ganancias, deben producirse 20 barriles o 35 barriles, ambos alcanzan las ganancias máximas de 530 miles de dólares.

---

¿Te gustaría que te dé más detalles sobre alguno de los pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o un mínimo?
2. ¿Qué significan las segundas derivadas en la concavidad de una función?
3. ¿Qué tipo de comportamiento tienen las funciones cúbicas como \( f_2(x) \)?
4. ¿Cómo se aplican restricciones de producción en problemas de optimización?
5. ¿Qué otros métodos, aparte de la derivada, pueden usarse para optimización?

### Tip: Siempre verifica los límites de los intervalos en funciones a tramos, ya que podrían contener los máximos.

Estoy haciendo problemas de optimización, resuelve el siguiente:
Las ganancias diarias en miles de dólares de una empresa petrolera son

f1(x) = 32x − 2x^2 si 0 < X < 15

y

f2(x) = −(30 − x)^3 + 15(30 − x)^2 + 30 si X ≥ 15, siendo X el número de barriles de 1000L que se producen.

Calcular cuántos barriles deben producirse para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que no se pueden extraer más de 35000L diarios.

This problem explores how to maximize the daily profits of a petroleum company by using quadratic and cubic functions to model production. Learn the steps of finding local maxima using derivatives and concavity, and solve for optimal production levels given constraints. Suitable for undergraduate students.

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