Cho a,b,c thỏa mãn 0<= a,b,c <=1 và ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhro nhất của P 5a 2024b + 5c

Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

\[
P = 5a + 2024b + 5c
\]

với các điều kiện \( 0 \leq a, b, c \leq 1 \) và \( ab + bc + ca = 1 \).

### Bước 1: Phân tích điều kiện ràng buộc

Điều kiện \( ab + bc + ca = 1 \) chỉ ra rằng giá trị của \( a, b, c \) phải tương quan với nhau theo một cách đặc biệt. Ta sẽ xét các trường hợp cụ thể của \( a, b, c \) để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( P \).

### Bước 2: Xét các trường hợp đặc biệt

#### Trường hợp 1: \( a = b = c \)

Giả sử \( a = b = c \), khi đó từ điều kiện ràng buộc \( ab + bc + ca = 1 \):

\[
3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{1}{3}}.
\]

Vì \( a \leq 1 \), nghiệm này không khả thi, do đó ta phải xét các trường hợp khác.

#### Trường hợp 2: \( a = 1, b = c = 0 \)

Với \( a = 1 \), \( b = 0 \), và \( c = 0 \), điều kiện ràng buộc \( ab + bc + ca = 1 \) thỏa mãn. Khi đó, ta có:

\[
P = 5(1) + 2024(0) + 5(0) = 5.
\]

#### Trường hợp 3: \( b = 1, a = c = 0 \)

Với \( b = 1 \), \( a = 0 \), và \( c = 0 \), điều kiện \( ab + bc + ca = 1 \) thỏa mãn. Khi đó:

\[
P = 5(0) + 2024(1) + 5(0) = 2024.
\]

#### Trường hợp 4: \( c = 1, a = b = 0 \)

Với \( c = 1 \), \( a = 0 \), và \( b = 0 \), điều kiện \( ab + bc + ca = 1 \) thỏa mãn. Khi đó:

\[
P = 5(0) + 2024(0) + 5(1) = 5.
\]

#### Trường hợp 5: \( a = 1, b = 1, c = 0 \)

Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 0 \), điều kiện \( ab + bc + ca = 1 \) không thỏa mãn, vì \( ab + bc + ca = 1 + 0 + 0 = 1 \), không đúng.

#### Trường hợp 6: \( a = 0, b = 1, c = 1 \)

Với \( a = 0 \), \( b = 1 \), và \( c = 1 \), điều kiện \( ab + bc + ca =

Explore how to maximize and minimize the expression 5a + 2024b + 5c under the constraints 0 <= a, b, c <= 1 and ab + bc + ca = 1. This problem involves inequalities, quadratic equations, and optimization techniques. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation