por metodo simplex(con matrices) Una compañía de fletes maneja los envíos de dos corporaciones: A1 y A2, que están ubicadas en la misma ciudad. La corporación A1 envía cajas que pesan 3 lb cada una y tienen un volumen de 2 𝑝𝑖𝑒𝑠3; A2 envía cajas de 1 𝑝𝑖𝑒3; que pesan 5 lb cada una. Ambas corporaciones envían al mismo destino. El costo de transporte por cada caja de A1 es $0.75 y para A2 es $0.50. La compañía de fletes tiene un camión con capacidad de carga de 2400 𝑝𝑖𝑒𝑠3 y una capacidad máxima de 9200 lb. En un acarreo, ¿cuántas cajas desde cada corporación debe transportar este camión de modo que el ingreso de la compañía de fletes sea máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

Para resolver este problema de optimización mediante el método simplex con matrices, primero debemos formular el problema de programación lineal. 

Definimos las siguientes variables:
- $ x_1 $: número de cajas de A1 transportadas
- $ x_2 $: número de cajas de A2 transportadas

### Función objetivo
Queremos maximizar el ingreso de la compañía de fletes:
\[ Z = 0.75x_1 + 0.50x_2 \]

### Restricciones
El problema tiene restricciones de capacidad en volumen y peso del camión:

1. Restricción de volumen:
\[ 2x_1 + 1x_2 \leq 2400 \]

2. Restricción de peso:
\[ 3x_1 + 5x_2 \leq 9200 \]

3. No negatividad:
\[ x_1 \geq 0 \]
\[ x_2 \geq 0 \]

### Forma estándar
Primero, introducimos variables de holgura $ s_1 $ y $ s_2 $ para convertir las desigualdades en igualdades:

\[ 2x_1 + x_2 + s_1 = 2400 \]
\[ 3x_1 + 5x_2 + s_2 = 9200 \]

### Matrices del método simplex
Formulamos la tabla inicial del método simplex:

| Base  | $ Z $  | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | Solución |
|-------|-----|-------|-------|-------|-------|----------|
| $ Z $     | 1   | -0.75 | -0.50 | 0     | 0     | 0        |
| $ s_1 $   | 0   | 2     | 1     | 1     | 0     | 2400     |
| $ s_2 $   | 0   | 3     | 5     | 0     | 1     | 9200     |

### Procedimiento Simplex

#### Iteración 1:
1. Identificamos la variable de entrada: $ x_1 $ (coeficiente más negativo en la fila $ Z $).
2. Identificamos la variable de salida: $ s_1 $ (razón mínima de solución/coefficient of $ x_1 $).

Calculamos las razones:
- Para $ s_1 $: $ \frac{2400}{2} = 1200 $
- Para $ s_2 $: $ \frac{9200}{3} \approx 3066.67 $

$ s_1 $ es la variable de salida.

#### Pivotamos sobre $ x_1 $ y actualizamos la tabla.

Actualizamos la fila de $ s_1 $:
\[ \text{Nueva } s_1 = \frac{1}{2}(2x_1 + x_2 + s_1 = 2400) \]
\[ x_1 + \frac{1}{2}x_2 + \frac{1}{2}s_1 = 1200 \]

Actualizamos las demás filas usando la nueva fila de $ s_1 $:

| Base  | $ Z $  | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | Solución |
|-------|-----|-------|-------|-------|-------|----------|
| $ Z $     | 1   | 0     | -0.125 | 0.375 | 0     | 900     |
| $ x_1 $   | 0   | 1     | 0.5   | 0.5   | 0     | 1200     |
| $ s_2 $   | 0   | 0     | 3.5   | -1.5  | 1     | 5600     |

#### Iteración 2:
1. Identificamos la variable de entrada: $ x_2 $ (coeficiente más negativo en la fila $ Z $).
2. Identificamos la variable de salida: $ s_2 $ (razón mínima de solución/coefficient of $ x_2 $).

Calculamos las razones:
- Para $ x_1 $: $ \frac{1200}{0.5} = 2400 $
- Para $ s_2 $: $ \frac{5600}{3.5} \approx 1600 $

$ s_2 $ es la variable de salida.

#### Pivotamos sobre $ x_2 $ y actualizamos la tabla.

Actualizamos la fila de $ s_2 $:
\[ \text{Nueva } s_2 = \frac{1}{3.5}(3.5x_2 + s_2 = 1600) \]
\[ x_2 + \frac{1}{3.5}s_2 = 1600 \]

Actualizamos las demás filas usando la nueva fila de $ s_2 $:

| Base  | $ Z $  | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | Solución |
|-------|-----|-------|-------|-------|-------|----------|
| $ Z $     | 1   | 0     | 0     | 0.25  | 0.125 | 1500     |
| $ x_1 $   | 0   | 1     | 0     | 0.5   | -0.143 | 800      |
| $ x_2 $   | 0   | 0     | 1     | -0.429| 0.286 | 1600     |

### Solución óptima
La solución óptima se alcanza cuando ya no hay coeficientes negativos en la fila $ Z $. La solución óptima es:
- $ x_1 = 800 $ cajas de A1
- $ x_2 = 1600 $ cajas de A2
- Ingreso máximo $ Z = \$1500 $

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se formulan las restricciones de un problema de programación lineal?
2. ¿Qué pasos son necesarios para convertir un problema de desigualdades en igualdades?
3. ¿Qué es una variable de holgura y cómo se usa en el método simplex?
4. ¿Qué criterios se utilizan para seleccionar la variable de entrada en el método simplex?
5. ¿Cómo se determina la variable de salida en el método simplex?
6. ¿Qué significa pivotar en el contexto del método simplex?
7. ¿Cómo se actualiza la tabla simplex después de cada iteración?
8. ¿Qué indica la fila $ Z $ en la tabla simplex?

### Consejo
Recuerda siempre revisar las restricciones del problema después de obtener la solución óptima para asegurarte de que se cumplen todas las condiciones del modelo.

Learn how to maximize a freight company's income using the simplex method with matrices. Solve a linear programming problem involving shipment volumes, weights, and transport costs. Suitable for college-level students and professionals.

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