Método Simplex: 3) Una compañía de fletes maneja envíos para dos compañías, A1 y A2 localizadas en la misma ciudad, la compañía A1 envía cajas que pesan cada una 3 libra y tienen un volumen de 2 pies³, la compañía A2 envía cajas de 1 pie³ que pesan 5 libras cada una. Tanto A1 como A2 envían al mismo destino. El costo de transporte por cada caja de A1 es de $ 0.75 y el A2 es de $ 0.50. La compañía de fletes tiene un camión con 2400 pies de espacio para carga y una capacidad máxima de 9200 libras. En su trayecto, ¿Cuantas cajas de cada compañía debe transportar este camión de modo que la compañía de fletes reciba ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

Para resolver este problema de maximización de ingresos utilizando el método Simplex, primero definimos las variables y establecemos las restricciones y la función objetivo.

### Definición de Variables
- $ x_1 $: Número de cajas de la compañía A1.
- $ x_2 $: Número de cajas de la compañía A2.

### Función Objetivo
Queremos maximizar el ingreso total, que se da por:
\[ Z = 0.75x_1 + 0.50x_2 \]

### Restricciones
1. Restricción de volumen:
   \[ 2x_1 + x_2 \leq 2400 \]

2. Restricción de peso:
   \[ 3x_1 + 5x_2 \leq 9200 \]

3. Restricciones de no negatividad:
   \[ x_1 \geq 0 \]
   \[ x_2 \geq 0 \]

Ahora, aplicamos el método Simplex para encontrar la solución óptima.

### Paso 1: Formulación del Problema en Forma Estándar
Introducimos variables de holgura $ s_1 $ y $ s_2 $ para convertir las desigualdades en igualdades:

\[ 2x_1 + x_2 + s_1 = 2400 \]
\[ 3x_1 + 5x_2 + s_2 = 9200 \]

La función objetivo en forma estándar es:
\[ Z = 0.75x_1 + 0.50x_2 \]

### Paso 2: Tabla Inicial del Simplex
La tabla inicial del Simplex se configura como sigue:

| Variables básicas | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | Solución |
|-------------------|---------|---------|---------|---------|----------|
| $s_1$           | 2       | 1       | 1       | 0       | 2400     |
| $s_2$           | 3       | 5       | 0       | 1       | 9200     |
| Z                 | -0.75   | -0.50   | 0       | 0       | 0        |

### Paso 3: Iteraciones del Método Simplex
Aplicamos las iteraciones del método Simplex para encontrar la solución óptima.

#### Iteración 1:
- La variable entrante es $ x_1 $ (porque tiene el coeficiente más negativo en la fila Z).
- Determinamos la variable saliente utilizando la razón mínima:
  - $ \frac{2400}{2} = 1200 $
  - $ \frac{9200}{3} \approx 3066.67 $
  - La variable saliente es $ s_1 $.

Actualizamos la tabla:

| Variables básicas | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | Solución |
|-------------------|---------|---------|---------|---------|----------|
| $x_1$           | 1       | 0.5     | 0.5     | 0       | 1200     |
| $s_2$           | 0       | 3.5     | -1.5    | 1       | 5600     |
| Z                 | 0       | -0.375  | 0.375   | 0       | 900      |

#### Iteración 2:
- La variable entrante es $ x_2 $.
- Determinamos la variable saliente utilizando la razón mínima:
  - $ \frac{1200}{0.5} = 2400 $
  - $ \frac{5600}{3.5} \approx 1600 $
  - La variable saliente es $ s_2 $.

Actualizamos la tabla:

| Variables básicas | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | Solución |
|-------------------|---------|---------|---------|---------|----------|
| $x_1$           | 1       | 0       | 0.7857  | -0.1429 | 800      |
| $x_2$           | 0       | 1       | -0.4286 | 0.2857  | 1600     |
| Z                 | 0       | 0       | 0.2143  | 0.1071  | 1200     |

### Solución Óptima
Las variables básicas son $ x_1 = 800 $ y $ x_2 = 1600 $. Por lo tanto, el número de cajas que debe transportar el camión es:
- 800 cajas de la compañía A1.
- 1600 cajas de la compañía A2.

### Ingreso Máximo
El ingreso máximo es:
\[ Z = 0.75(800) + 0.50(1600) = 600 + 800 = 1400 \]

### Respuesta
El camión debe transportar 800 cajas de la compañía A1 y 1600 cajas de la compañía A2 para maximizar el ingreso, que será de $1400.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 8 preguntas relacionadas que podrías considerar:
1. ¿Qué es el método Simplex?
2. ¿Cómo se identifican las variables entrantes y salientes en el método Simplex?
3. ¿Por qué es importante la fase de establecimiento de restricciones en la programación lineal?
4. ¿Qué papel juegan las variables de holgura en el método Simplex?
5. ¿Cómo se puede verificar la optimalidad de una solución en el método Simplex?
6. ¿Qué sucede si no se puede encontrar una variable saliente en una iteración del Simplex?
7. ¿Qué es una solución degenerada en el contexto del método Simplex?
8. ¿Cómo se interpreta la fila de costos reducidos en la tabla del Simplex?

Tip: Siempre verifica las restricciones después de encontrar la solución óptima para asegurarte de que no se han violado las condiciones del problema.

Learn how to maximize income using the Simplex method in linear programming. Solve a transportation problem involving two companies, A1 and A2, with specific constraints and costs per unit. Understand the application of linear programming techniques to real-world scenarios.

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