Analizza e risolvi il seguente problema, dichiarando passo passo i ragionamenti e i relativi calcoli per spiegarlo ai tuoi studenti che frequentano il primo anno di liceo scientifico: “Mary vuole sistemare la sua collezione di CD in alcuni raccoglitori, tutti uguali. Se mette 9 CD in ogni raccoglitore, due raccoglitori restano vuoti; se ne mette 6, 3 CD restano fuori. Da quanti CD è composta la collezione di Mary? Quanti raccoglitori ha a disposizione?”

Per risolvere questo problema, procediamo passo per passo.

### **Passo 1: Definire le incognite**
Iniziamo definendo due incognite:
- **\( N \)**: Il numero totale di CD nella collezione di Mary.
- **\( R \)**: Il numero totale di raccoglitori che Mary ha a disposizione.

### **Passo 2: Tradurre le informazioni del problema in equazioni**
1. **Prima situazione**: Se Mary mette 9 CD in ogni raccoglitore, due raccoglitori restano vuoti.
   - Quindi, i raccoglitori effettivamente riempiti sono \( R - 2 \).
   - Ogni raccoglitore contiene 9 CD, quindi la quantità totale di CD distribuiti sarà \( 9 \times (R - 2) \).
   - Questo deve essere uguale al numero totale di CD, quindi possiamo scrivere la prima equazione:
   \[
   N = 9 \times (R - 2)
   \]

2. **Seconda situazione**: Se Mary mette 6 CD in ogni raccoglitore, avanzano 3 CD.
   - In questo caso, ogni raccoglitore contiene 6 CD e i raccoglitori utilizzati sono tutti, quindi la quantità totale di CD distribuiti sarà \( 6 \times R \).
   - Avanzano 3 CD, quindi possiamo scrivere la seconda equazione come:
   \[
   N = 6 \times R + 3
   \]

### **Passo 3: Risolvere il sistema di equazioni**
Abbiamo ora due equazioni che descrivono il problema:
\[
1) \quad N = 9 \times (R - 2)
\]
\[
2) \quad N = 6 \times R + 3
\]
Poiché entrambe le equazioni rappresentano \( N \), possiamo uguagliarle tra loro:
\[
9 \times (R - 2) = 6 \times R + 3
\]

### **Passo 4: Risolvere l'equazione per \( R \)**
Espandiamo e semplifichiamo l'equazione:
\[
9R - 18 = 6R + 3
\]
Portiamo tutti i termini con \( R \) a sinistra e i termini costanti a destra:
\[
9R - 6R = 3 + 18
\]
\[
3R = 21
\]
\[
R = \frac{21}{3} = 7
\]

Quindi, Mary ha **7 raccoglitori**.

### **Passo 5: Calcolare il numero di CD \( N \)**
Usiamo uno dei due equazioni per trovare \( N \). Utilizziamo la prima:
\[
N = 9 \times (R - 2)
\]
Sostituendo \( R = 7 \):
\[
N = 9 \times (7 - 2) = 9 \times 5 = 45
\]

Quindi, la collezione di Mary è composta da **45 CD**.

### **Verifica**
Controlliamo se le condizioni del problema sono soddisfatte:
- **Prima situazione**: \( N = 9 \times (7 - 2) = 45 \). Se ci sono 9 CD per raccoglitore, e ci sono 5 raccoglitori pieni, il totale è 45 CD, con 2 raccoglitori vuoti.
- **Seconda situazione**: \( N = 6 \times 7 + 3 = 42 + 3 = 45 \). Se ci sono 6 CD per raccoglitore, in 7 raccoglitori ne rimangono fuori 3. 

Quindi, la soluzione è corretta.

### **Risultato finale**
Mary ha **45 CD** e dispone di **7 raccoglitori**.

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Vuoi maggiori dettagli o hai qualche domanda? 

Ecco 5 domande relative per approfondire:
1. Come si risolverebbe il problema se ogni raccoglitore potesse contenere solo un numero variabile di CD?
2. Come cambierebbe la soluzione se i raccoglitori fossero di dimensioni diverse?
3. Quale sarebbe l'approccio se Mary non sapesse quanti CD rimangono fuori nell'ultima condizione?
4. Come si generalizza questo tipo di problema per un numero arbitrario di oggetti e contenitori?
5. In quali situazioni reali potrebbero essere utili simili tipi di calcoli?

**Tip:** Nei problemi di tipo algebrico, è sempre utile definire chiaramente le incognite e scrivere tutte le informazioni sotto forma di equazioni.

Explore Mary's CD collection problem and learn how to calculate the total number of CDs and the number of binders using algebraic equations. Detailed step-by-step solution provided.

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