Sea f(x) = (5x + 3)/(4x - 1) y Rango()) = R - (a). Calcula el valor de 16a ^ 2 + 5

Dado que \( f(x) = \frac{5x + 3}{4x - 1} \), el rango de la función \( f(x) \) es todo el conjunto de los números reales, excepto el valor que hace que el denominador sea cero, es decir, \( R - \{a\} \).

Para determinar el valor de \( a \), observamos que \( f(x) \) se indetermina cuando el denominador es cero. Es decir, \( 4x - 1 = 0 \), lo cual ocurre en \( x = \frac{1}{4} \).

El valor de \( f\left(\frac{1}{4}\right) \) se encuentra sustituyendo \( x = \frac{1}{4} \) en la función:

\[
f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5\left(\frac{1}{4}\right) + 3}{4\left(\frac{1}{4}\right) - 1} = \frac{\frac{5}{4} + 3}{1 - 1} = \text{indefinido}
\]

Así, el valor que está excluido del rango es el valor que el numerador toma cuando \( 4x - 1 = 0 \), pero la función no está definida en ese punto. Entonces el rango es \( \mathbb{R} - \{a\} \) donde \( a \) es:

\[
f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5\left(\frac{1}{4}\right) + 3}{4\left(\frac{1}{4}\right) - 1} 
\]

\( f\left(\frac{1}{4}\right) \) no tiene valor finito, por lo que el valor de \( a \) no se toma aquí, sino más bien tenemos que considerar el comportamiento general de la función. 

El valor del límite cuando \( x \to \infty \) o \( x \to -\infty \) se encuentra utilizando la asíntota horizontal. La función tiene una asíntota horizontal en:

\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{5}{4}
\]

Entonces, el valor que se excluye del rango es \( a = \frac{5}{4} \).

Ahora calculamos \( 16a^2 + 5 \) sustituyendo \( a = \frac{5}{4} \):

\[
16\left(\frac{5}{4}\right)^2 + 5 = 16\left(\frac{25}{16}\right) + 5 = 25 + 5 = 30
\]

Por lo tanto, el valor de \( 16a^2 + 5 \) es \( 30 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el dominio de la función \( f(x) = \frac{5x + 3}{4x - 1} \)?
2. ¿Qué sucede con la función cuando \( x \) se acerca a \( \frac{1}{4} \)?
3. ¿Qué significa que una función tenga una asíntota horizontal?
4. ¿Cómo se comporta la función \( f(x) = \frac{5x + 3}{4x - 1} \) para valores muy grandes de \( x \)?
5. ¿Cómo se puede encontrar el valor máximo o mínimo de una función racional?

### Tip:
Al analizar funciones racionales, identificar las asíntotas es clave para entender su comportamiento global.

Learn how to calculate the value of 16a^2 + 5 for the rational function f(x) = (5x + 3) / (4x - 1). Understand the domain, range, and behavior of the function, including horizontal asymptotes. Suitable for advanced high school students studying rational functions.

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