Demuestre como encontrar que la varianza 𝛽̂1 y 𝛽̂0.

Para demostrar cómo encontrar la varianza de los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) en un modelo de regresión lineal simple, partimos del modelo:

\[
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i
\]

donde \( y_i \) es la variable dependiente, \( x_i \) es la variable independiente, \( \beta_0 \) y \( \beta_1 \) son los coeficientes de regresión (intercepto y pendiente), y \( \varepsilon_i \) es el término de error que se asume que tiene media cero y varianza constante \( \sigma^2 \).

### Estimadores de \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)
Los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) se obtienen mediante el método de mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los errores al cuadrado. Los estimadores se definen como:

\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

\[
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
\]

### Varianza de \( \hat{\beta}_1 \)
Para encontrar la varianza de \( \hat{\beta}_1 \), primero escribimos la expresión de \( \hat{\beta}_1 \) en función de los errores \( \varepsilon_i \):

\[
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(\beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Dado que \( \bar{y} = \beta_0 + \beta_1 \bar{x} + \bar{\varepsilon} \), podemos simplificar:

\[
\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})\varepsilon_i}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

La varianza de \( \hat{\beta}_1 \) se calcula considerando que los errores \( \varepsilon_i \) son independientes e identicamente distribuidos (i.i.d.) con varianza \( \sigma^2 \):

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_1) = \text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})\varepsilon_i}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\right)
\]

Como la varianza de una suma es la suma de las varianzas (debido a la independencia de los \( \varepsilon_i \)):

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2 \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{\left(\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\right)^2} = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

### Varianza de \( \hat{\beta}_0 \)
La varianza de \( \hat{\beta}_0 \) se encuentra utilizando la expresión:

\[
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
\]

Dado que \( \bar{y} \) y \( \hat{\beta}_1 \) son independientes, la varianza de \( \hat{\beta}_0 \) es:

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_0) = \text{Var}(\bar{y}) + \bar{x}^2 \text{Var}(\hat{\beta}_1)
\]

La varianza de la media \( \bar{y} \) es \( \frac{\sigma^2}{n} \), por lo tanto:

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_0) = \frac{\sigma^2}{n} + \bar{x}^2 \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

Por lo tanto, las varianzas de \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) se expresan como:

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
\]

\[
\text{Var}(\hat{\beta}_0) = \sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \right)
\]

### Resumen
En resumen, hemos demostrado cómo se calculan las varianzas de los estimadores \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \) en un modelo de regresión lineal simple.

---

¿Quieres más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la colinealidad entre \( x_i \) y \( y_i \) a la varianza de \( \hat{\beta}_1 \)?
2. ¿Cómo se podría estimar \( \sigma^2 \) en la práctica?
3. ¿Qué suposiciones son necesarias para que estas fórmulas de varianza sean válidas?
4. ¿Cómo se derivan los intervalos de confianza para \( \hat{\beta}_1 \) y \( \hat{\beta}_0 \)?
5. ¿Cómo se interpreta la varianza de \( \hat{\beta}_1 \) en términos de precisión del estimador?

**Tip:** La varianza de los estimadores en regresión depende directamente de la variabilidad en los valores de \( x \). Si \( x_i \) tiene poca variación, la varianza de \( \hat{\beta}_1 \) aumentará, haciendo menos preciso el estimador.

Learn how to find the variance of beta hat estimators in simple linear regression. Explore the derivation of variance for beta hat 1 and beta hat 0 using the method of least squares. Suitable for advanced undergraduate students and researchers.

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