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Para resolver si el vector \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) es una combinación lineal de los vectores dados:

\[
\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}, \quad
\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad
\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

debemos encontrar si existen escalares \(a\), \(b\) y \(c\) tales que:

\[
a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3 = \vec{u}
\]

Es decir, necesitamos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
a \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} +
b \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} +
c \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
\]

Esto se puede escribir como el siguiente sistema:

\[
a + b + 2c = 4 \\
-2a + 3b + c = 2 \\
-4a + 5b + c = 2
\]

Resolveré este sistema para ver si tiene una solución y verificar si \(\vec{u}\) es una combinación lineal de \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\) y \(\vec{v}_3\).La solución del sistema es:

\[
a = 2 - c, \quad b = 2 - c
\]

Esto indica que \(a\), \(b\), y \(c\) no tienen un único valor, sino que dependen de \(c\). Esto significa que existen infinitas combinaciones de los vectores \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\) y \(\vec{v}_3\) que pueden generar el vector \(\vec{u}\), por lo tanto, **sí**, el vector \(\vec{u}\) es una combinación lineal de los vectores dados.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo interpretar la dependencia de \(c\)? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Qué significa que el sistema tenga soluciones infinitas?
2. ¿Cómo afecta el valor de \(c\) en las soluciones para \(a\) y \(b\)?
3. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para determinar combinaciones lineales?
4. ¿Es posible representar gráficamente estas soluciones?
5. ¿Qué implicaría que no hubiera soluciones para el sistema?

**Tip:** Un vector es una combinación lineal de otros si el sistema de ecuaciones que relaciona a estos vectores tiene solución.

Determine si \(\vec{u}\) es combinación lineal de los vectores dados: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Learn how to determine if the vector \(\vec{u}\) is a linear combination of the given vectors \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), and \(\vec{v}_3\). This problem covers key concepts in linear algebra, including solving systems of equations to find linear combinations.

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