2、直线(x-2)/(-4)=(y-0)/2=(z-3)/(-1)与直线{█(2x+6y+4z=-2@-2x+y+10z=-3)┤的位置关系是（）
	平行
	垂直
	斜交
	异面


我们有两条直线，一条是通过参数形式给出的直线：

\[
\frac{x-2}{-4} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-3}{-1}
\]

将其改写为向量方程：

\[
\vec{r_1}(t) = \langle 2, 0, 3 \rangle + t \langle -4, 2, -1 \rangle
\]

所以第一条直线的方向向量为 \(\vec{d_1} = \langle -4, 2, -1 \rangle\)。

第二条直线是由两个平面交线形成的。我们可以通过解两个方程组来找到交线的方向向量。两个方程是：

1. \(2x + 6y + 4z = -2\)
2. \(-2x + y + 10z = -3\)

为了求解方向向量，我们通过求这两个平面法向量的叉积。首先，分别找出两个平面的法向量：

- 平面1的法向量为 \(\vec{n_1} = \langle 2, 6, 4 \rangle\)
- 平面2的法向量为 \(\vec{n_2} = \langle -2, 1, 10 \rangle\)

接着，计算这两个法向量的叉积，得到直线的方向向量 \(\vec{d_2}\)。

\[
\vec{d_2} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 6 & 4 \\ -2 & 1 & 10 \end{vmatrix}
\]

计算这个行列式：

\[
\vec{d_2} = \langle (6 \times 10 - 4 \times 1), (4 \times -2 - 2 \times 10), (2 \times 1 - 6 \times -2) \rangle = \langle 60 - 4, -8 - 20, 2 + 12 \rangle = \langle 56, -28, 14 \rangle
\]

因此，第二条直线的方向向量为 \(\vec{d_2} = \langle 56, -28, 14 \rangle\)。

接下来，我们需要判断两条直线的方向向量是否平行、垂直或者是斜交。我们可以通过计算两个向量的点积和判断它们的比例来进行分析。

1. **是否平行**：如果两个方向向量成比例，则直线平行。
2. **是否垂直**：如果两个方向向量的点积为0，则直线垂直。
3. **是否斜交或异面**：如果既不平行也不垂直，则进一步判断是否相交或异面。

首先计算点积：

\[
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (-4) \times 56 + 2 \times (-28) + (-1) \times 14 = -224 - 56 - 14 = -294
\]

点积不为0，因此两直线不垂直。

接着，我们检查方向向量是否成比例：

\[
\frac{-4}{56} \neq \frac{2}{-28} \neq \frac{-1}{14}
\]

比例不相等，因此两条直线不平行。

由于直线既不平行也不垂直，因此这两条直线是**异面直线**。

答案是：**异面**。

---

有需要详细说明的部分吗？  
这里有5个相关问题可以帮助你加深理解：

1. 如何确定两条直线是否平行？
2. 如何通过向量来判断两条直线是否相交？
3. 什么是异面直线的几何性质？
4. 如何使用向量叉积来求解平面的交线？
5. 直线方程的参数形式与对称式有何区别？

**提示**: 两个平面相交时的直线，其方向向量由平面法向量的叉积得到。

2、直线(x-2)/(-4)=(y-0)/2=(z-3)/(-1)与直线{█(2x+6y+4z=-2@-2x+y+10z=-3)┤的位置关系是（平行，垂直，斜交，异面）

Learn how to analyze the spatial relationship between two lines, one given in parametric form and the other as the intersection of two planes. This detailed solution includes vector calculations, cross product, and dot product methods to determine if the lines are parallel, perpendicular, or skew. Suitable for Grades 10-12.

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