Prüfen Sie, ob die beiden Geraden g1 und g2 sich schneiden. Geben Sie, falls möglich, eine Parametergleichung Ebene an, die durch die Geraden g1 und g2 festgelegt wird. b) g1: x = (1,2,5) + t * (3,4,0); g2 x = (2,3,1) + s *(3,4,5)

Wir prüfen, ob die beiden Geraden \( g_1 \) und \( g_2 \) sich schneiden, indem wir die Geradengleichungen parametrisch aufstellen und dann ein Gleichungssystem lösen, um zu sehen, ob es eine gemeinsame Lösung für die Parameter \( t \) und \( s \) gibt.

Die Geradengleichungen sind wie folgt gegeben:

\[
g_1: \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

\[
g_2: \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}
\]

Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich:

\[
\begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 2 + 4t \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3s \\ 3 + 4s \\ 1 + 5s \end{pmatrix}
\]

Daraus ergeben sich drei Gleichungen:

1. \( 1 + 3t = 2 + 3s \)
2. \( 2 + 4t = 3 + 4s \)
3. \( 5 = 1 + 5s \)

### Schritt 1: Lösen des Gleichungssystems

#### Aus der dritten Gleichung:
\[
5 = 1 + 5s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{4}{5}
\]

#### Setze \( s = \frac{4}{5} \) in die erste und zweite Gleichung ein:

**Erste Gleichung:**
\[
1 + 3t = 2 + 3 \cdot \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 1 + 3t = 2 + \frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad 1 + 3t = \frac{22}{5}
\]
\[
3t = \frac{22}{5} - 1 \quad \Rightarrow \quad 3t = \frac{17}{5} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{17}{15}
\]

**Zweite Gleichung:**
\[
2 + 4t = 3 + 4 \cdot \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 2 + 4t = 3 + \frac{16}{5} \quad \Rightarrow \quad 2 + 4t = \frac{31}{5}
\]
\[
4t = \frac{31}{5} - 2 \quad \Rightarrow \quad 4t = \frac{21}{5} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{21}{20}
\]

### Schritt 2: Überprüfung

Wir haben zwei verschiedene Werte für \( t \) erhalten (\( t = \frac{17}{15} \) und \( t = \frac{21}{20} \)), was bedeutet, dass es keine Lösung gibt, bei der beide Parameter \( t \) und \( s \) gleichzeitig die Gleichungen erfüllen. Daher schneiden sich die Geraden nicht.

### Schritt 3: Parametergleichung der Ebene

Auch wenn sich die Geraden nicht schneiden, spannen sie dennoch eine Ebene auf. Um die Parametergleichung der Ebene aufzustellen, nehmen wir einen Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren. Der Aufpunkt kann einer der Stützvektoren der Geraden sein, z.B. der Stützvektor von \( g_1 \), und die Richtungsvektoren sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

Der Aufpunkt ist \( \mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \), und die Richtungsvektoren sind \( \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \).

Die Parametergleichung der Ebene lautet somit:
\[
E: \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}
\]
mit den Parametern \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \).

---

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Hier sind 5 weitere Fragen, die Sie interessieren könnten:
1. Wie bestimmt man, ob zwei Vektoren linear unabhängig sind?
2. Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen?
3. Wie interpretiert man das Ergebnis, wenn zwei Geraden parallel sind?
4. Was passiert, wenn zwei Geraden windschief zueinander stehen?
5. Welche Rolle spielt der Normalenvektor bei Ebenengleichungen?

**Tipp:** Wenn zwei Geraden keinen Schnittpunkt haben, sind sie entweder parallel oder windschief.

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