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La limite à calculer est :

\[
\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 3} + 2x - 4
\]

Pour résoudre cette limite lorsque \(x\) tend vers l'infini, nous devons simplifier l'expression :

### Étapes :
1. **Analyse du terme \(\sqrt{x^2 + 3}\)** : 
   Lorsque \(x\) tend vers l'infini, le terme \(x^2 + 3\) est dominé par \(x^2\). Nous pouvons donc approximer :
   \[
   \sqrt{x^2 + 3} \approx \sqrt{x^2} = |x|
   \]
   Comme \(x\) est positif à l'infini, \( |x| = x \). Donc :
   \[
   \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 3} = x
   \]

2. **Substitution dans la limite** : 
   Remplaçons \(\sqrt{x^2 + 3}\) par \(x\) dans l'expression originale :
   \[
   \lim_{x \to \infty} (x + 2x - 4) = \lim_{x \to \infty} (3x - 4)
   \]

3. **Calcul final** :
   À l'infini, \(3x - 4\) tend vers \(+\infty\) car \(3x\) croît beaucoup plus vite que le terme constant \(-4\).

### Conclusion :
La limite est donc :
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3} + 2x - 4 \right) = +\infty
\]

Est-ce que vous souhaitez plus de détails ou avez des questions supplémentaires ?

### Questions liées :
1. Comment prouver que \( \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + a} = x \) pour tout \(a \in \mathbb{R}\) ?
2. Que se passe-t-il si on cherche la limite lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) ?
3. Comment simplifier des expressions contenant des racines carrées à l'infini ?
4. Quelle est l'importance des termes dominants dans les limites à l'infini ?
5. Comment utiliser le théorème des gendarmes pour prouver certaines limites ?

### Astuce :
Lorsque vous calculez des limites à l'infini, concentrez-vous toujours sur les termes de plus haut degré pour simplifier vos calculs.

Calculate the following limit: lim as x approaches infinity of sqrt(x^2 + 3) + 2x - 4

Learn how to solve the limit problem lim(x → ∞) √(x^2 + 3) + 2x - 4. This solution explains key concepts like dominant term approximation and asymptotic behavior for functions with square roots. Suitable for students in Grades 10-12.

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