Nilai dari Lim x->tak hingga dari {(3x - 2) - V(x^2 - 14x + 4)} adalah … (V dibaca akar).

a.
0

b.
-1

c.
4/3

d.
-5/3

e.
-7/3

Untuk menyelesaikan limit berikut:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \left( (3x - 2) - \sqrt{x^2 - 14x + 4} \right)
\]

Mari kita analisis bagian-bagian dari ekspresi ini.

### 1. Dominasi oleh \( x^2 \)
Pada limit saat \( x \to \infty \), kita tahu bahwa suku-suku yang mengandung \( x \) pangkat tertinggi akan mendominasi, sehingga kita bisa menyederhanakan bentuk ini.

#### Bentuk pertama:
\[
3x - 2
\]
Untuk nilai \( x \) yang sangat besar, suku \( -2 \) menjadi tidak signifikan, sehingga mendekati:
\[
3x
\]

#### Bentuk kedua:
\[
\sqrt{x^2 - 14x + 4}
\]
Karena \( x^2 \) adalah suku dengan pangkat tertinggi di dalam akar, kita dapat menggunakan pendekatan dengan faktorisasi atau perkiraan mendekati:

\[
\sqrt{x^2 - 14x + 4} \approx \sqrt{x^2(1 - \frac{14}{x} + \frac{4}{x^2})}
\]
\[
\approx x \sqrt{1 - \frac{14}{x} + \frac{4}{x^2}}
\]

Untuk nilai \( x \) yang sangat besar, ekspresi di dalam akar dapat diaproksimasi menggunakan ekspansi binomial:
\[
\sqrt{1 - \frac{14}{x}} \approx 1 - \frac{7}{x}
\]

Jadi, kita punya:
\[
\sqrt{x^2 - 14x + 4} \approx x - 7
\]

### 2. Menghitung limit:
Sekarang, substitusi kedua hasil tersebut ke dalam ekspresi limit:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \left( (3x - 2) - \sqrt{x^2 - 14x + 4} \right)
\approx \lim_{{x \to \infty}} \left( 3x - (x - 7) \right)
\]
\[
= \lim_{{x \to \infty}} \left( 3x - x + 7 \right)
\]
\[
= \lim_{{x \to \infty}} \left( 2x + 7 \right)
\]

Untuk \( x \to \infty \), hasil ini akan divergen ke tak hingga, jadi kita telah membuat pendekatan yang salah. Sekarang, kita harus lebih hati-hati dengan akar kuadrat dan mencoba cara lain yang lebih tepat.



Nilai dari Lim x->tak hingga dari {(3x - 2) - V(x^2 - 14x + 4)} adalah … (V dibaca akar). a. 0 b. -1 c. 4/3 d. -5/3 e. -7/3

Find the limit of (3x - 2) - √(x^2 - 14x + 4) as x approaches infinity. This detailed solution explores key mathematical concepts such as limits, square root approximation, and asymptotic behavior. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation