https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1723651253852irq0bzdk.pdf

dame la solución paso a paso de la d) de la primera parte

La pregunta d) solicita calcular el límite de la siguiente expresión:

\[
\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{4x + 8} - 6}{2x - 14}
\]

### Paso 1: Sustituir el valor de \( x = 7 \) en la expresión

Primero, sustituimos directamente \( x = 7 \) en la expresión para ver si obtenemos una forma indeterminada.

\[
\text{Numerador: } \sqrt{4(7) + 8} - 6 = \sqrt{28 + 8} - 6 = \sqrt{36} - 6 = 6 - 6 = 0
\]

\[
\text{Denominador: } 2(7) - 14 = 14 - 14 = 0
\]

Obtenemos la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), lo que sugiere que debemos simplificar la expresión.

### Paso 2: Simplificación de la expresión utilizando factorización y racionalización

Para eliminar la indeterminación, podemos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. El conjugado del numerador es \( \sqrt{4x + 8} + 6 \).

\[
\text{Multiplicamos: } \frac{\sqrt{4x + 8} - 6}{2x - 14} \cdot \frac{\sqrt{4x + 8} + 6}{\sqrt{4x + 8} + 6} = \frac{(\sqrt{4x + 8})^2 - 6^2}{(2x - 14)(\sqrt{4x + 8} + 6)}
\]

Simplificamos el numerador utilizando la identidad notable \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

\[
\text{Numerador: } (4x + 8) - 36 = 4x - 28
\]

Por lo tanto, la expresión se convierte en:

\[
\frac{4x - 28}{(2x - 14)(\sqrt{4x + 8} + 6)}
\]

### Paso 3: Factorizar el numerador y el denominador

Observamos que \( 4x - 28 = 4(x - 7) \) y \( 2x - 14 = 2(x - 7) \). Entonces:

\[
\frac{4(x - 7)}{2(x - 7)(\sqrt{4x + 8} + 6)}
\]

Cancelamos el factor común \( x - 7 \):

\[
\frac{4}{2(\sqrt{4x + 8} + 6)} = \frac{2}{\sqrt{4x + 8} + 6}
\]

### Paso 4: Sustituir \( x = 7 \)

Ahora que hemos simplificado la expresión, sustituimos \( x = 7 \):

\[
\frac{2}{\sqrt{4(7) + 8} + 6} = \frac{2}{\sqrt{28 + 8} + 6} = \frac{2}{\sqrt{36} + 6} = \frac{2}{6 + 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]

### Respuesta final:

\[
\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{4x + 8} - 6}{2x - 14} = \frac{1}{6}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas adicionales para profundizar:

1. ¿Cómo se aplica la técnica de racionalización en otros límites?
2. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para resolver límites indeterminados?
3. ¿Por qué es importante reconocer la forma indeterminada antes de simplificar?
4. ¿Qué sucede si un límite no puede ser resuelto con métodos estándar?
5. ¿Cómo influye el teorema del valor medio en el cálculo de límites?
6. ¿Qué diferencia existe entre la simplificación algebraica y la factorización?
7. ¿En qué situaciones es más útil la regla de L'Hôpital?
8. ¿Cómo se relaciona este problema con la continuidad de funciones?

**Tip**: En problemas de límites, identificar la forma indeterminada es crucial para seleccionar el método adecuado de resolución.

Learn how to calculate the limit of sqrt(4x + 8) - 6 / (2x - 14) as x approaches 7. Follow a step-by-step solution involving rationalization and factorization methods. Suitable for advanced high school students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation